微积分基本公式

上页下页铃结束返回首页1一、位置函数与速度函数之间的联系二、积分上限的函数及其导数三、牛顿莱布尼茨公式§5.2微积分基本公式上页下页铃结束返回首页2设物体从某定点开始作直线运动,在t时刻物体所经过的路程为S(t),速度为vv(t)S(t)(v(t)0),则在时间间隔[T1,T2]内物体所经过的路程S可表示为一、位置函数与速度函数之间的联系上式表明,速度函数v(t)在区间[T1,T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1,T2]上的增量.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？)()(12TSTS及dttvTT)(21,即)()()(1221TSTSdttvTT.即上页下页铃结束返回首页3二、积分上限的函数及其导数,],[)(baCxf则积分上限的函数xattfxd)()(证明,],[,bahxx有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理1若ab)(xfyOxyx)(x)(fhx.],[)(上的一个原函数在是baxf上页下页铃结束返回首页4若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则)()()(aFbFdxxfba.定理2(牛顿莱布尼茨公式))()()(aFbFdxxfba.证明设dttfxxa)()(,则也是f(x)的原函数.证明因为F(x)和(x)都是f(x)的原函数,所以存在常数C,使F(x)(x)C.由F(a)(a)C及(a)0,得CF(a),F(x)(x)F(a).由F(b)(b)F(a),得(b)F(b)F(a),即三、牛顿莱布尼茨公式上页下页铃结束返回首页5牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.三、牛顿莱布尼茨公式若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则)()()(aFbFdxxfba.定理2(牛顿莱布尼茨公式)为了方便起见,可把F(b)F(a)记成baxF)]([,于是)()()]([)(aFbFxFdxxfbaba.上页下页铃结束返回首页6解若F(x)是f(x)的原函数,则)()()]([)(aFbFxFdxxfbaba.解例1例3计算121dxx.解2ln2ln1ln|]|[ln11212xdxx.解2ln2ln1ln|]|[ln11212xdxx.解2ln2ln1ln|]|[ln11212xdxx.例2计算正弦曲线ysinx在[0,p]上与x轴所围成的平面图形的面积A.2)1()1(]cos[sin00ppxxdxA.2)1()1(]cos[sin00ppxxdxA.2)1()1(]cos[sin00ppxxdxA.yoxxysinp上页下页铃结束返回首页7例3汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？t2(s).当汽车停止时,有v(t)v0at105t.刹车后t时刻汽车的速度为v(t)105t0,汽车刹车时的初速度为解m/s10m/s3600100036km/h360v.于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为dttdttvs)510()(2020)m(10]21510[202tt.dttdttvs)510()(2020)m(10]21510[202tt.dttdttvs)510()(2020)m(10]21510[202tt.上页下页铃结束返回首页8xxxd)12(10解,210时当x,121时当x原式1dx41;0)12(xx.0)12(xx0)12(xx令.21,0xx0dx2121)12(xx)12(xx如被积函数有绝对值,注:再用去掉后,N-L公式.应分区间将绝对值例4求上页下页铃结束返回首页9例5已知函数.21,1,10,,01,1)(时当时当时当xxxxxxf求积分上限的函数.d)()(1xttfx,)0,1[时当xxt1d1.1xxttfx1d)()(,]1,0[时当xxttfx1d)()(1dtxtd00t1.212x,]2,1(时当xxttfx1d)()(1dt010dt1txt1d)1(t.22xx解.21,,10,1,01,1)(221221时当时当时当xxxxxxxx上页下页铃结束返回首页10证明例6设f(x)连续,u1(x),u2(x)可导,则有).()]([)()]([)(1122)()(21xuxufxuxufdttfdxdxuxu设F(x)为f(x)的一个原函数,则有)]([)]([)(12)()(21xuFxuFdttfxuxu于是)()(21)(xuxudttfdxd)()]([)()]([1122xuxuFxuxuF).()]([)()]([1122xuxufxuxuf上页下页铃结束返回首页11例7).(,d)(23xftexfxxt求设解)()()(3232xexexfxx2xex23xe23x例6设f(x)连续,u1(x),u2(x)可导,则有).()]([)()]([)(1122)()(21xuxufxuxufdttfdxdxuxu例7求21cos02limxdtextx.例8解2cos1021cos022limlimxdtexdtextxxtxexxexx212)sin(lim2cos0.exxexx212)sin(lim2cos0.上页下页铃结束返回首页12例9设f(x)为连续的周期函数,周期为T,试证.)()(0TTaadxxfdxxf证明Taadxxfdad)(,0)()(afTaf,)(CdxxfTaa.)()(0TTaadxxfdxxf上页下页铃结束返回首页13例10设f(x)在[0,)内连续,且f(x)0.证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在(0,)内为单调增加函数.证明因为2000))(()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF200))(()()()(xxdttfdttftxxf.2000))(()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF200))(()()()(xxdttfdttftxxf.按假设,当0tx时,f(t)0,(xt)f(t)0,所以0)(0dttfx,0)()(0dttftxx,0)(0dttfx,0)()(0dttftxx,从而F(x)0(x0),因此F(x)在(0,)内为单调增加函数.上页下页铃结束返回首页14例11求极限22222lim().12nnnnnnnn解原式221limnninni1201d1xx.4p101)()(1limdxxfnifnnin2111lim1()nniinn10[arctan]x上页下页铃结束返回首页15解设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定积分为常数,,d)(10axxf设bxxf20d)(,则故应用积分法定此常数.例12上页下页铃结束返回首页16例13试证:212011d.41sin3xxxp证明2120d1sinxxx120dxx1301,33x2120d1sinxxx2120d1xxx1201(1)d1xx10[arctan]xx1.4p上页下页铃结束返回首页17如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点,使下式成立•性质7(定积分中值定理)baabfdxxf))(()(.——积分中值公式.注:积分中值定理中的可在开区间(a,b)内取得.证明令),(d)()(bxattfxFxa上在],[)(baxF由定理1(原函数存在定理)知:可导,根据拉格朗日中值定理,至少存在一点),,(ba使得),)(()()(abFaFbF即baxxfd)().()(xfxF).)((abf上页下页铃结束返回首页18作业习题52(P240):5.(3)6.(7)—(12)9.10.12.