2004年高考数学试题(全国4理)及答案

2004年高考试题全国卷Ⅳ理科数学（必修+选修Ⅱ）第I卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1－P)n－k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合},2|{},2,1,0{MaaxxNM，则集合NM=（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，2}2．函数)(2Rxeyx的反函数为（）A．)0(ln2xxyB．)0)(2ln(xxyC．)0(ln21xxyD．)0(2ln21xxy3．过点（－1，3）且垂直于直线032yx的直线方程为（）A．012yxB．052yxC．052yxD．072yx4．)1)31(2ii=（）A．i3B．i3C．i3D．i35．不等式03)2(xxx的解集为（）A．}30,2|{xxx或B．}3,22|{xxx或C．}0,2|{xxx或D．}3,0|{xxx或6．等差数列}{na中，78,24201918321aaaaaa，则此数列前20项和等于（）A．160B．180C．200D．2207．对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（）A．如果mnm,,、n是异面直线，那么//n；B．如果mnm,,、n是异面直线，那么与n相交C．如果mnm,//,、n共面，那么nm//；D．如果mnm,//,//、n共面，那么nm//8．已知椭圆的中心在原点，离心率21e，且它的一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，则此椭圆方程为（）球的表面积公式S=42R其中R表示球的半径，球的体积公式V=334R其中R表示球的半径A．13422yxB．16822yxC．1222yxD．1422yx9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种B．420种C．630种D．840种10．已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心到平面ABC的距离为（）A．1B．2C．3D．211．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为23，那么b=（）A．231B．31C．232D．3212．设函数))((Rxxf为奇函数，),2()()2(,21)1(fxfxff则)5(f（）A．0B．1C．25D．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．8)1(xx展开式中5x的系数为.14．向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等于.15．函数)(2cos21cos)(Rxxxxf的最大值等于.16．设yx,满足约束条件：,0,,1yxyyx则yxz2的最大值是.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且sinα=,415求12cos2sin)4sin(的值.18．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(xxxf在[0，2]上的最大值和最小值.ABCDP19．（本小题满分12分）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即≥0）的概率.20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；（Ⅱ）证明PA⊥BD.21．（本小题满分12分）双曲线)0,1(12222babyax的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和.54cs求双曲线的离心率e的取值范围.22．（本小题满分14分）已知函数0)(),sin(cos)(xfxxexfx将满足的所有正数x从小到大排成数列}.{nx（Ⅰ）证明数列{}{nxf}为等比数列；（Ⅱ）记nS是数列{}{nnxfx}的前n项和，求.lim21nSSSnn2004年高考试题全国卷4理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12DCADABCABABC二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．2814．2115．4316．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本技能.满分12分.解：2cos2cossin2)cos(sin2212cos2sin)4sin(.)cos(sincos4)cos(sin2当为第二象限角，且415sin时41cos,0cossin，所以12cos2sin)4sin(=.2cos4218．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力.满分12分.解：,2111)(xxxf令,02111xx化简为,022xx解得.1),(221xx舍去当)(,0)(,10xfxfx时单调增加；当)(,0)(,21xfxfx时单调减少.所以412ln)1(f为函数)(xf的极大值.又因为),2()1(,013ln)2(,0)0(ffff所以0)0(f为函数)(xf在[0，2]上的最小值，412ln)1(f为函数)(xf在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解决实际问题的能力.满分12分.解：（Ⅰ）的可能值为－300，－100，100，300.P（=－300）=0.23=0.008,P（=－100）=3×0.22×0.8=0.096,P（=100）=3×0.2×0.82=0.384,P（=300）=0.83=0.512,图2ABCDPOEFzyx图1ABCDPOE所以的概率分布为－300－100100300P0.0080.0960.3840.512根据的概率分布，可得的期望E=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P（≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分.解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=33，四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD=.963334831（Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P（0，0，33），A（23，－3，0），B（23，5，0），D（－23，－3，0）所以).0,8,34(),33,3,32(BDPA因为,002424BDPA所以PA⊥BD.解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=23，又知AD=43，AB=8，得.ABADAEEO所以Rt△AEO∽Rt△BAD.得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90°所以AF⊥BD.因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的身影，所以PA⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分.解：直线l的方程为1byax，即.0abaybx由点到直线的距离公式，且1a，得到点（1，0）到直线l的距离221)1(baabd，同理得到点（－1，0）到直线l的距离222)1(baabd.222221cabbaabdds由,542,54ccabcs得即.25222caca于是得.025254,2152422eeee即解不等式，得.5452e由于,01e所以e的取值范围是.525e22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：.sin2)cossin()sin(cos)(xexxexxexfxxx由,0)(xf得.0sin2xex解出nnx,为整数，从而,3,2,1,nnxn.)1()(nnnexf.)()(1exfxfnn所以数列)}({nxf是公比eq的等比数列，且首项.)(1qxf（Ⅱ）解：)()()(2211nnnxfxxfxxfxS),21(1nnqqq),11()21(),2(122nnnnnnnnnqqqqnqqqqqSSnqqqqqS而).11(1nnnnqqqqqSnSSSn21.)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222qqqqnqqqnqqqqnqqqqnqqqnqqqnqqqqnqqqnnnnnnn因为0lim.1||nnqeq，所以.)1()1(lim2221eeqqnSSSnn