专项练习：菱形的判定

１/11菱形的判定一、选择题1.下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．邻边相等D．对角线互相垂直且平分2.若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为（）A．矩形．B．菱形．C．矩形和菱形．D．正方形．3.满足下列（）的是菱形．A．两对角线相等B．两对角线垂直C．两条对角线垂直且互相平分D．两条对角线相等且互相垂直4.顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是（）A．等腰梯形B．矩形C．对角线相等D．菱形5.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A．矩形B．三角形C．正方形D．菱形6.已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形7.用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定8.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）A．ABCDB．ACBD２/11C．ACBD时，它是菱形D．当90ABC时，它是矩形二、填空题9.依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是．10.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）ABCD；（2）ABCD∥；（3）OAOC；（4）OBOD；（5）ACBD⊥；（6）AC平分BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：ABCD是菱形；ABCD是菱形．11.延长等腰ABC△顶角平分线AD到E使DEAD，连结BECE，，则四边形ABEC是_________形．12.对角线__________的四边形是菱形．13.将矩形ABCD绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使A与B重合，得矩形BFDE，BF交AD于M，DE交BC于N，则四边形BMDN是______（填特殊四边形的名称）．三、证明题14.已知，如图，从菱形ABCD对角线的交点O分别向各边引垂线，垂线分别是E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．15.已知四边形ABCD的四边分别为a，b，c，d，且满足44444abcdabcd，求证：四边形ABCD是菱形．ADMBCENFＯＤＧＨＡＣＦＢＥ３/1116.已知ABCD是对角线ACBD、相交于O，如图，且136ADAC，，4BD，你能说明四边形ABCD是菱形吗？17.如图所示，ABCRt△中，90ACB，ABC的角平分线BD交AC于点D，CHAB⊥交BD于F，DEAB⊥于E，四边形CDEF是菱形吗？18.如图，在五边形ABCDE中，ABBCCDDEEA，2ABCDBE．请说明：四边形ACDE是菱形．19.如图，在ABC△中，AD是BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．ＡＯＣＤＢＡＤＣＢＨＥＦＥＡＤＣＢＯＡＥＦＣＤＢ４/1120.如图，矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AF垂直平分线段OB，垂足为E，CH垂直平分线段OD，垂足为G．求证：（1）AOB△是等边三角形；（2）四边形AFCH是菱形．21.如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．（1）求证：BOEDOF△≌△；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF为菱形？并证明你的结论．22.如图所示，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，B的平分线交AD于M，交AC于E，DAE的平分线交CD于N．求证：四边形AMNE为菱形．ＡＤＨＧＣＦＥＯＢＡＦＤＣＯＥＢＡＥＣＮＤＢＭＯ５/1123.如图所示，在四边形ABCD中，对边ABCD，M，N，P，Q分别是AD，BC，AC，BD的中点，求证：MNPQ⊥．24.如图，四边形ABCD中，点E在AB上，且△ADE与△BCE都是正三角形，点P，Q，M，N分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形PQMN为菱形．25.如图，四边形ABCD中，90ABCADC，M为AC中点，且MNBD⊥与MD的平行线BN交于N，求证：四边形BNDM为菱形．AMDPCNBQAPＥＢＱＣＭＤＮＡＤＭＮＢＣ６/1126.如图Rt△ABC中，90BAC，ADBC⊥于D，CE平分ACB交AD于G，交AB于E，EFBC⊥于F，求证：四边形AEFG为菱形．27.ABCD的对角线的垂直平分线与边ADBC，分别交于EF，，求证：四边形AFCE是菱形．28.已知：如图，过ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EGFH，与平行四边形ABCD各边分别相交于点EFGH，，，．求证：四边形EFGH是菱形．ABCDOEGFHＣＡＧＤＦＢＥAEDOCFB７/1129.如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD，BC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形．四、应用题30.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由．８/11参考答案一、选择题1.D2.B3.C4.C5.D6.C7.B8.B二、填空题9.菱形10.(1)(2)(6)(3)(4)(5)[或(3)(4)(6)]11.菱12.互相平分且垂直13.菱形三、证明题14.先证四边形HEFG为平行四边形，再证HFEG．15.解：因为44444abcdabcd，所以4444222280abcdabcd，所以422442244224422422222222(2)(2)(2)(2)2(2)2(2)0aabbbaccccdddadaababcdcdadabcdbc所以22222222222222()()()()2()2()0abbccddaabcdadbc由非负数性质得，220ab，220bc，220cd，220da，0abcd，0adbc．所以abcd．所以四边形ABCD是菱形．９/1116.解：四边形ABCD是平行四边形，64ACBD，．32OAOCOBOD，．又13AD．222.90ADOAODAODACBD即，:⊥ABCD是菱形．17.解：四边形CDEF是菱形．理由如下：DEABCHAB⊥，⊥，DECH∥．即：DECF∥．又BD是角平分线，DEDC，且.BDEBDC....DECHBDECFDCDFDFCCDCFCFDE∥，四边形CDEF是平行四边形，又因DCDE．四边形CDEF是菱形．18.提示：只需证四边形EACD为平行四边形，只需证明AECD∥，过B作BMAE∥经证BMCD∥即可．19.EF∵垂直平分AD，AEDE∴，AFDF，AD∵平分BAC，AEDAFD∴△≌△，AEAF∴，AEDEAFDF∴，故四边形AEDF是菱形．20.（1）可证12OAAC，12OBBD，OAOB∴．AF∵垂直平分OB，OAABOB∴，故AOB△为等边三角形．（2）在等边AOB△中，AFOB⊥，30OAEBAE∴，可证明FCADAC，FCAEAO，AFCF∴，１０/11可证明四边形AFCH是平行四边形，而AFCF，故四边形AFCH是菱形．21.（1）∵在矩形ABCD中，ABCD∥，EF∴，EBOFDO，又BOOD，BOEDOF∴△≌△．（2）当EF与AC垂直时，四边形AECF为菱形．证明：BOEDOF∵△≌△，EOFO∴．又AOOC，∴四边形AECF为平行四边形．又EFAC⊥，∴四边形AECF为菱形．22.证明：设AN与ME交于点O，因为AD是Rt△ABC斜边BC上的高，所以ABDCAD．又BE，AN分别平分ABD和CAD，所以EANABE．所以在Rt△ABE中，90AOB，△AME是等腰三角形，AN平分ME，又因为ABONBO∠，OBOB，所以Rt△AOB≌Rt△NOB，AOON，即ME垂直平分AN，四边形AMNE是菱形．23.证明四边形MQNP是菱形即可．24.连结AC，BD，△ADE与△BCE都是正三角形，AEDE，CEBE，60AEDBEC，60AECDECDEB证△AEC≌△DEB（SAS）ACDB，又P，Q，M，N分别为各边中点，得12PQMNAC，12QMPNBDPQQMMNNP.四边形PQMN为菱形．25.设MN与BD交于O，易证MBMD，再证△DOM≌△BON，从而BNDM，又由BNDM∥，可证得四边形BNDM为菱形．26.易证AEFE，而且ADEF∥，AEGAGEAGEAEF又AGEF∥AEFG为菱形．27.证明：EF垂直平分AC，AFFC，AEEC，FACFCA，EACECA．ADBC∥，EACFCA，ECAFCA．EFAC⊥，CEFCFE，FCEC，AFFCCEAE，四边形AFCE是菱形．１１/1128.略29.先证明四边形AFCE为平行四边形，再由AC⊥EF即可得证．四、应用题30.添加的条件是：ACBD．理由略．