2018届高考数学(理)二轮复习精品课件：专题3 三角函数、解三角形与平面向量 第3讲 平面向量

第3讲平面向量专题三三角函数、解三角形与平面向量热点分类突破真题押题精练Ⅰ热点分类突破热点一平面向量的线性运算1.在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化.2.在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量.例1(1)(2017届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且AE→＝2EC→，点F是BD上靠近D的四等分点，则A.FE→＝－112AB→－512AD→B.FE→＝112AB→－512AD→C.FE→＝512AB→－112AD→D.FE→＝－512AB→－112AD→答案解析√思维升华思维升华对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用.答案解析思维升华(2)(2017届湖南师大附中月考)O为△ABC内一点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，AD→＝tAC→，若B，O，D三点共线，则t的值为A.13B.14C.12D.23√思维升华运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.跟踪演练1(1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC中，AN→＝14NC→，P是直线BN上的一点，若AP→＝mAB→＋25AC→，则实数m的值为A.－4B.－1C.1D.4答案解析√答案解析(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于A.(－5，－10)B.(－4，－8)C.(－3，－6)D.(－2，－4)√解析因为a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以m＋4＝0，m＝－4，2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B.热点二平面向量的数量积1.数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ.2.三个结论(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)若非零向量a＝(x1，y1)，非零向量b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.例2(1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足CM→＝13CB→＋12CA→，则AM→·MB→的值为A.2B.－152C.152D.－2√解析因为AM→＝CM→－CA→，MB→＝CB→－CM→，则AM→·MB→＝13CB→－12CA→23CB→－12CA→，即AM→·MB→＝29CB→2－12CA→·CB→＋14CA→2＝2－94＋94＝2，故选A.思维升华数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义.答案解析思维升华(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(3，2)，则|a＋2b|等于A.22B.17C.15D.25思维升华可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.√解析向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(3，2)，所以|a＋2b|＝17.故选B.可得|a－b|2＝5，即|a|2＋|b|2－2a·b＝5，解得a·b＝0.|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋16＝17，答案解析思维升华跟踪演练2(1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值是A.－2B.－32C.－43D.－1答案解析√(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为2π3，则|a＋2b|＝____.答案解析2解析因为|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝2π3，故a·b＝2cos〈a，b〉＝－1，则(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4－4＋4＝4，即|a＋2b|＝2.热点三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件.例3(2017·江苏)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π].(1)若a∥b，求x的值；3解因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，a∥b，所以－3cosx＝3sinx.若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0.于是tanx＝－33.又x∈[0，π]，所以x＝5π6.解答(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－3)＝3cosx－3sinx＝23cosx＋π6.因为x∈[0，π]，所以x＋π6∈π6，7π6，从而－1≤cosx＋π6≤32，于是，当x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x＋π6＝π，即x＝5π6时，f(x)取得最小值－23.解答思维升华跟踪演练3已知平面向量a＝(sinx，cosx)，b＝(sinx，－cosx)，c＝(－cosx，－sinx)，x∈R，函数f(x)＝a·(b－c).(1)求函数f(x)的单调递减区间；解答(2)若fα2＝22，求sinα的值.解答Ⅱ真题押题精练真题体验1.(2017·北京改编)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n0”的___________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案解析123充分不必要4答案解析12342.(2017·山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是_____.33答案解析12343.(2017·天津)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若BD→＝2DC→，AE→＝λAC→－AB→(λ∈R)，且AD→·AE→＝－4，则λ的值为____.3114.(2017·北京)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则的最大值为____.AO→·AP→答案解析61234押题预测答案解析押题依据平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础.押题依据12341.如图，在△ABC中，AD→＝13AB→，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示向量AN→，则AN→等于A.12(a＋b)B.13(a＋b)C.16(a＋b)D.18(a＋b)√2.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF→＝2FO→，则FD→·FE→等于A.－34B.－89C.－14D.－49答案解析押题依据数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式.押题依据123√41233.在△ABC中，AB→＝(cos32°，cos58°)，BC→＝(sin60°sin118°，sin120°sin208°)，则△ABC的面积为A.14B.38C.32D.34答案解析押题依据平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点.押题依据√44.如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为上的动点，AB与OC交于点P，则OP→·BP→的最小值是______.－116押题依据本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中.1234AB答案解析押题依据