常微分方程总复习

1常微分方程课程总复习第一章绪论第一章的主要内容是建立方程和初始条件，并介绍整个课程中所使用的主要概念。以下几点是对第一章内容的总体要求。*一．对于通过物理过程而建立微分方程，本课程不作太高的要求，了解和初步掌握几个方程及初始条件建立过程的物理模型即可。*二.对于利用平面曲线的分析性质（曲线()yfx的切线的斜率是导数()yfx）建立简单的曲线所满足的微分方程，则是要求初步掌握的。一些具体的例题可见作业中的相应部分。！三.对于微分方程的一些基本的概念则要求熟练掌握，因为这些是后面求解方程所必须的。要求熟练掌握的概念有微分方程的阶数；微分方程的解的概念和解的验证；微分方程组的解的概念和解的验证；微分方程的通解及特解；判断一个微分方程是线性的还是非线性的；判断一个线性微分方程是齐(次)的还是非齐(次)的；判断一个线性微分方程是常系数的还是变系数的.至于一阶方程的解的几何意义，包括积分曲线，方向场，等斜线等则作为了解即可。本章重点和注意事项：1．！关于微分方程的概念，主要放在概念性题目（例如选择题）中考查。2．*利用平面曲线的分析性质建立简单的常微分方程，通常放在简答性题目（例如填空题）中考查。3．！验证方程的解通常出现在概念性的题目中。！典型例题：下列四个微分方程中,为四阶线性微分方程的有()个.(1)34342301dyxdyxydxxdx(2)43243sindydyyxdxdx(3)4422dyxdxdyeyedx(4)424cosxdydyexyxxdxdxA.1B.2C.3D.4（见模拟试题）2！典型例题：微分方程)1ln()1(2211xnxydxdyndxyddxydnnnn是().A.n阶常系数非线性常微分方程;B.n阶变系数非齐线性常微分方程;C.n阶变系数非线性常微分方程;D.n阶常系数非齐线性常微分方程.！典型例题：微分方程22(1)dyxydx的一个解是().A.1yxB.1xyC.xy1D.xy1（见模拟试题）*典型例题：(见第17页:9.(1))曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为.*典型例题：(见第17页:9.(3))曲线上任意一点的切线与坐标轴所成的三角形的面积都等于常数2a.*典型例题：平面上过点(4,4)的曲线为)(xfy,该曲线上任一点处的切线与坐标轴所成的三角形的面积都等于2,则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为().*典型例题：平面上过点(4,4)的曲线为)(xfy,该曲线上任一点处的切线夹在两个坐标轴之间的部分为定长l,则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为().*典型例题：平面上过点(2011,1210)的曲线为)(xfy,该曲线上任一点处的切线与切点和原点的连线的夹角为,则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为(tantanyxyxy,(2011)1210y).第二章一阶微分方程的初等解法第二章的主要内容是求解几类主要的一阶微分方程，这里总结主要的解法：一．变量分离方程：)()(yxfdxdy.求解方法：先进行变量分离：dxxfydy)()(，再在两边积分即得通解：cdxxfydy)()(.注意：在常微分方程中所遇到的不定积分和定积分是数学分析中所学过的公式中较为简单的形式。但仍要求熟练掌握：基本积分表中的积分公式，换元积分法，分部积分法等基本的积分方法。3典型例题：0)1(2dyxdxy(作业)；yedxdyxy32(作业)；22ydxdyx.！注意：用分离变量法求解可分离变量的一阶常微分方程，是常微分方程这门课中最基本的解题方法。正因为方法基本，在考试中不会直接出现这类题目。分离变量法常常出现在解其他类型的微分方程的中间步骤中。二．*可化为变量分离方程的方程-----齐次方程xygdxdy.求解方法：作变量变换xyu,则udxduxdxdy，方程可以化为变量分离方程xuugdxdu)(.其它形式的可化为变量分离方程的方程的求解方法则不做统一的要求,但要求掌握下面形式的方程如何化为齐次方程：dyxygdxxy,或dyygdxxy或4dyygdxx.典型例题：给出将方程2244xyydyfxyxdx化为可分离变量型方程的变换.三．！一阶线性方程有形如下（(),()PxQx是某区间上的连续函数）)()(xQyxPdxdy.求解方法：用常数变易法来求解,也可以直接利用公式:（参见教材34页（2.32）式）()()()PxdxPxdxyeQxedxc.（2.32）！典型例题：ttsdtds2sin21cos(第37页作业3，另外5，7，8等题都与一阶线性方程有关)；4241dyxydxxx(见模拟试题).四．！可化为一阶线性方程的方程是伯努利方程：(0,1n)()()ndyPxyQxydx求解方法：引入变量变换:1nzy,则方程可以化为如下的线性方程:1()()1dzPxzQxndx.4利用线性方程的求解方法,即可求解.！典型例题：33yxxydxdy(第37页习题11)，44dyxyxydx,(1/4n)(见模拟试题).五．！恰当方程：方程0),(),(dyyxNdxyxM是恰当方程的充分必要条件是MNyx.（参见教材41页(2.48)式）求解方法：将方程的左端分项组合,凑出全微分的形式,即找出一个二元函数(,)uxy,使得(,)(,)(,)duxyMxydxNxydy,则方程的通解为(,)uxyC,其中C是任意常数.或者用分别求积分的方法,即如下的公式:(,)(,)(,)MxydxNxyMxydxdycy.(2.52)典型例题：0)2(3)23(22232dyyyxdxxxy(第49页习题4).六．积分因子法求解方程：如果方程不是恰当方程,则可用求积分因子的方法来求解,我们学过的求积分因子的方法有两种类型:(i)！方程0),(),(dyyxNdxyxM具有只与x有关的积分因子的充分必要条件为)(xNxNyM(2.60)是只与x有关的函数.且当此条件满足时,方程0),(),(dyyxNdxyxM的积分因子可以取为dxxedxNxNyMx)(exp)(.(2.61)(ii)方程0),(),(dyyxNdxyxM具有只与y有关的积分因子的充分必要条件为()MNyxyM是只与y有关的函数.且当此条件满足时,方程0),(),(dyyxNdxyxM的积分因子可以取5为()()expydyMNyxydyeM.得到了积分因子后，将该积分因子乘在方程的两端，则方程变为恰当方程，因此可按上述求解恰当方程的方法求解。典型例题：02)3(2xydydxyex(第49页习题7)，！典型例题：4514sincos0lnxydxxydyx(见模拟试题).七．！一阶隐方程：如果一阶方程中的未知函数的导数不能象上面的情况一样可以解出的话，考虑采用引进参数的方法,将隐方程化为导数可以解出的类型来求解.以y可以解出的形式为例:),(yxfy,(其中dxdyy).求解方法：引入参数dxdyyp,则原方程可以写为如下的形式:),(pxfy.(2.64)将此式对x求导,并将yp代入,可以得到dxdppfxfp.(2.65)这个方程是关于自变量x,未知函数p的一阶微分方程,而其未知函数的导数dpdx已经可以解出.故可用前面的方法加以求解.设求出的解可以表示为),(Cpx，其中C为任意常数，则原方程的解为)),,((),(pCpfyCpx，（p为参数）.典型例题：yeyy2;ayy2)1(2(第59页习题3,4);！224ln1dydyydxdx.(见模拟试题).本章重点和注意事项：1．七种类型的方程的求解都是重点，都要求熟练掌握求解方法（齐次方程可除外）。2．实际的计算性题目，限制在一阶线性方程，用积分因子求解方程和一阶隐方程等类型。3.其他几种类型，如变量分离方程，齐次方程和伯努利方程等都放在概念性题目和简答性题目（例6如选择题和填空题）中考查。恰当方程一般不单独出题，常常与积分因子是同一个题目，即所给出的方程不是恰当方程但可以求出积分因子，将该积分因子乘在方程的两端，得到恰当方程，再用恰当方程的方法来求解。4．验证方程的解可出现在概念性的题目中。5．常微分方程中常遇到的不定积分是数学分析中较简单的形式。但仍要求熟练掌握“基本积分表”；较为简单的被积函数的“换元积分法”和“分部积分法”；过于复杂的换元法，三角函数，无理根式，有理分式等形式的积分一般不会直接出现在考试中。第三章一阶微分方程的解的存在定理第三章主要研究一阶常微分方程如下形式初值问题的解的存在唯一性问题:00)(),(yxyyxfdxdy.本章主要的结果是如下的定理！定理1如果),(yxf在矩形区域byyaxxR||,|:|00上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程),(yxfdxdy存在唯一解)(xy，定义在区间hxx||0上，连续且满足初始条件00)(yx,(3.3)其中Mbah,min，(,)max||xyRMf(x,y).本章的重点:要求掌握的是这个定理的含义，理解定理的证明方法，会利用定理解释某些一阶常微分方程初值问题的解的存在唯一性，或解的不唯一性。需掌握的重要概念1．利普希茨条件设二元函数),(yxf在xoy平面上以),(00yx为心的矩形区域D中连续,其中}||,|||),{(00byyaxxyxD,称),(yxf在D上关于y满足利普希茨条件(简称Lip条件或李氏条件),如果存在常数L0使得不等式|||),(),(|2121yyLyxfyxf对于所有的Dyxyx),(),,(21都成立.L称为利普希茨常数(简称Lip常数).2．局部利普希茨条件.如果二元函数),(yxf在xoy平面上的某个更大的区域中连续,并且对这个区域中的每一个点),(00yx都存在以该点为心的矩形区域D和Lip常数L,使得),(yxf在这个区域D上满足Lip条件,则称),(yxf在这个区域上满足局部利普希茨条件.7*3．近似解公式：书上68页求近似解的公式(3.4)：001()(,())xnnxxyfxxdx（3.4）对于近似解的公式要求掌握求二次到三次近似解的方法。！典型例题：对于初值问题4200arctan(4),()dyxyyxydx,可判定其解在0x的某邻域内存在且唯一,试解释原因.(见模拟试题).*典型例题：试写出初值问题434yxdxdy,0)0(y的第二次近似解.本章重点和注意事项：1．本章出题的类型或是选择题或是填空题。一般没有计算性的大题。2．*求初值问题的第二次或第三次近似解通常是放在简答题等类型(如填空题)的题目中考查。3．本章在课上没有讲到的部分以及在复习中没有涉及的内容,都不作具体的要求。请注意：“！”表示是常微分方程课程所考察的重点内容或必考内容，须引起特别注意！（例如“！典型例题：求方程组xdtdxA的一个基解矩阵,其中6223A”，表示这类题目是必考的内容）“*”表示不是常微分方程课程的重点内容或必考内容（例如“*6.掌握两个基解矩阵之间的关系.”表示这样的内容通常不会出现在考试题目中）。