常微分方程期末复习

1.求下列方程的通解。1sin4xedxdyy.解：方程可化为1sin4xedxdeyy令yez，得xzdxdzsin4由一阶线性方程的求解公式，得xxxdxdxcexxcexxecdxxeez)cos(sin2)cos(sin2)sin4()1()1(所以原方程为：ye＝xcexx)cos(sin22.求下列方程的通解。1)(122dxdyy.解：设tpdxdysin，则有tysec，从而ctgtttdtctdttgttx2secsecsin1，故方程的解为221)(ycx，另外1y也是方程的解.3.求方程2yxdxdy通过)0,0(的第三次近似解.解：0)(0x20121)(xxdxxx5204220121)41()(xxdxxxxxdxxxxxdxxxxxxx0710402523201400141)20121()(8115216014400120121xxxx4.求解下列常系数线性方程。0xxx解：对应的特征方程为：012，.解得ii23,23212211所以方程的通解为：)23sin23cos(2121tctcext5.求解下列常系数线性方程。texx解：齐线性方程0xx的特征方程为013，解得231,13,21i，故齐线性方程的基本解组为：ieieet23sin,23cos,2121，因为1是特征根，所以原方程有形如ttAetx)(，代入原方程得，tttteAteAteAe3，所以31A，所以原方程的通解为2121ececxttteieci3123sin23cos2136.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：5,1yxdtdyyxdtdx解：050!yxyx解得23yx所以奇点为（)2,3经变换，33yYxX方程组化为YXdtdyYXdtdx因为,01111又01)1(11112所以ii1,121，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。7.设)(t为方程Axx（Ａ为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即))0(E，证明)(t)()(001ttt其中0t为某一值证明：)(t为方程Axx的基解矩阵)(01t为一非奇异常数矩阵，所以)()(01tt也是方程Axx的基解矩阵，且)(0tt也是方程Axx的基解矩阵，.且都满足初始条件)(t)(01tE，Ett)0()(00所以)(t)()(001ttt即命题得证。8.求方程0)1(24322dyyxdxyx的通解解：yxxNyxyM226,8yMxNyM21积分因子2121)(yeydyy两边同乘以)(y后方程变为恰当方程：0)1(24321322dyyxydxyx3224yxMxu两边积分得：)(34233yyxu21213'21322)(2yyxNyyxyu得：214)(yy因此方程的通解为：cyxy)3(3219.求方程0xedxdydxdy的通解解：令pydxdy'则0xepp得：pepx那么dpeppdxyp)1(cepeppp22.因此方程的通解为：ceppyepxpp)1(2210.求初值问题0)1(22yyxdxdy1,11:yxR的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计解：4),(max),(yxfMRyxbyyaxx1,100，41),min(Mbah，解的存在区间为4110hxxx即4345x令0)(00yx3130)(3121xdxxxx4211918633)313(0)(47312322xxxxdxxxxx又Lyyf22误差估计为：241)!1()()(12nnhnMLxx11.求方程ttxx3sin9''的通解解：ii3,309212.i3是方程的特征值，设iteBAtttx3)()(得：iteAtBiAitBtAx32)961292(则tBiAitA6122得：361,121BiA.因此方程的通解为：tttttctctx3sin3613cos1213sin3cos)(22112.试求方程组)('tfAxx的解).(t1)(,3421,11)0(tetfA解：0)5)(1(3421)det(AE5,1210)(11vAE得1v取111v0)(22vAE得22v取212v则基解矩阵tttteeeet552)(tttttteeeeeet112121012)0()(55151211035241203)()()(5510tttttteeeedssfst因此方程的通解为：ttdssfsttt0)()()()0()()(115121103524120355tttttteeeeee13.试求线性方程组52,1972yxdtdyyxdtdx的奇点，并判断奇点的类型及稳定性解：3105201972yxyxyx（1，3）是奇点令25,219yYxXYxdtdYyXdtdX2,720230722172，那么由02307221722可得：ii3,321因此（1，3）是稳定中心14.证明题：如果)(t是Axx'满足初始条件)(0t的解，那么)(exp)(0ttAt证明：由定理8可知dssfstttttt)()()()()()(0101又因为)exp()(exp)(,exp)(01001AtAttAtt0)(sf所以)exp(exp)(0AtAtt又因为矩阵)()()()(00AtAtAtAt所以)(exp)(0ttAt即命题得证。15.求下列方程的通解3()0ydxxydy解：因为1,1MNyx，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln21()dyyyyeey，两边同乘21y得320dxxydyyy所以解为321xxyydxdycyyy22xycy即22()xyyc另外y=0也是解16.求下列方程的通解sincos2xxtt解：线性方程0xx的特征方程210故特征根i1()sinftti是特征单根，原方程有特解(cossin)xtAtBt代入原方程A=-12B=02()cos2ftt2i不是特征根，原方程有特解cos2sin2xAtBt代入原方程13AB=0所以原方程的解为1211cossincoscos223xctctttt17.若2114A试求方程组xAx的解12(),(0)t并求expAt解：221()69014p解得1,23此时k=112n12v111123322120()()(3)()!ititittteAEeti由公式expAt=10()!intiiteAEi得33310111exp(3)01111tttttAteEtAEetett18.求下列方程的通解32()480dydyxyydxdx解：方程可化为3284dyydxxdyydx令dypdx则有3284pyxyp（*）（*）两边对y求导：322322(4)(8)4dpypypypypdy即32(4)(2)0dppyypdy由20dpypdy得12pcy即2()pyc将y代入（*）2224cpxc即方程的含参数形式的通解为：22224()cpxcpycp为参数又由3240py得123(4)py代入（*）得：3427yx也是方程的解19.求方程2dyxydx经过（0，0）的第三次近似解解：00210022520041072511830002()4220()4400202204400160xxxyxyxdxxxxyxdxxxxxxxxyxdx20.求1,5dxdyxyxydtdt的奇点,并判断奇点的类型及稳定性解：由1050xyxy解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxxydtdyxydt因为1111=1+10故有唯一零解（0，0）由221121122011得1i故（3，-2）为稳定焦点。21.证明题：n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解证明：由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：10200''1020011110200()1,()0,,()0()0,()1,,()0()0,()0,,()1nnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxt考虑10200100010[(),(),,()]10001nwxtxtxt从而()(1,2,)ixtin是线性无关的。22.求解方程：dxdy=312yxyx解：(x-y+1)dx-(x+2y+3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-2ydy-3dy=0即21d2x-d(xy)+dx-331dy-3dy=0所以Cyyxxyx331213223.解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0解：2)(1)(2yxyxdxdy，令z=x+y则dxdydxdz1,212121zzzzdxdzdxdzzz12所以–z+3ln|z+1|=x+1C，ln3|1|z=x+z+1C.即yxCeyx23)1(24.讨论方程23dxdy31y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解解：设f(x,y)=2331y,则)0(2132yyyf故在0y的任何区域上yf存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，显然，0y是通过点（0，0）的一个解；又由23dxdy31y解得，|y|=23)(cx所以，通过点（0，0）的一切解为0y及|y|=是常数0),()()(023ccxcxcx25.求解常系数线性方程：texxxtcos32///解：(1)i21,0322,12齐次方程的通解为x=