常微分方程考研讲义第二章 一阶微分方程的初等解法

第二章、一阶微分方程的初等解法[教学目标]1.理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。2.理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。3.理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。4.理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。[教学重难点]重点是一阶微分方程的各类初等解法，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。[教学方法]讲授，实践。[教学时间]14学时[教学内容]变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。[考核目标]1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。2.会建立一阶微分方程并能求解。§1变量分离方程与变量变换1、变量分离方程1)变量分离方程形如()()dyfxgydx(或1122()()()()0MxNydxMxNydy)（2.1）的方程，称为变量分离方程，其中函数()fx和()gy分别是,xy的连续函数.2)求解方法如果()0gy，方程(2.1)可化为，()()dyfxdxgy这样变量就分离开了,两边积分,得到()()dyfxdxcgy（2.2）把,()()dyfxdxgy分别理解为1,()()fxy的某一个原函数.容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)yxc满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在0y使0()0gy，可知0yy也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上.3)例题例1求解方程dyxdxy解将变量分离，得到ydyxdx两边积分，即得22222yxc因而，通解为22xyc这里的c是任意的正常数.或解出显式形式2ycx例2解方程2cosdyyxdx并求满足初始条件：当0x时.1y的特解.解将变量分离，得到2cosdyxdxy两边积分，即得1sinxcy因而，通解为1sinyxc这里的c是任意的常数.此外，方程还有解0y.为确定所求的特解，以0x.1y代入通解中确定常数c，得到1c因而，所求的特解为11sinyx例3求方程()dyPxydx（2.3）的通解，其中()Px是x的连续函数.解将变量分离，得到()dyPxdxy两边积分，即得ln()yPxdxc这里的c是任意常数.由对数的定义，即有()Pxdxcye即()Pxdxcyee令cec，得到()Pxdxyce（2.4）此外，0y也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许0c，则0y也就包括在（2.4）中，因而，（2.3）的通解为（2.4），其中c是任意常数.注:1.常数c的选取保证(2.2)式有意义.2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解,即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件00()yxy的一个解，表示的是一条过点00(,)xy的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）.形如dyygdxx（2.5）的方程，称为齐次方程，这里的()gu是u的连续函数.另外,ⅰ)对于方程(,)(,)dyMxydxNxy其中函数(,)Mxy和(,)Nxy都是x和y的m次齐次函数，即对0t有(,)(,)mMtxtytMxy(,)(,)mNtxtytNxy事实上，取1tx，则方程可改写成形如(2.5)的方程.(1,)(1,)(1,)(1,)mmyyxMMdyxxyydxxNNxxⅱ)对方程(,)dyfxydx其中右端函数(,)fxy是x和y的零次齐次函数，即对0t有(,)(,)ftxtyfxy则方程也可改写成形如(2.5)的方程(1,)dyyfdxx对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解.令yux（2.6）即yux，于是dyduxudxdx（2.7）将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为()duxugudx整理后，得到()duguudxx（2.8）方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例4求解方程dyyytgdxxx解这是齐次方程，以,ydyduuxuxdxdx代入，则原方程变为duxuutgudx即dutgudxx（2.9）分离变量，即有dxctgudux两边积分，得到lnsinlnuxc这里的c是任意的常数，整理后，得到sinucx（2.10）此外，方程（2.9）还有解0tgu,即sin0u.如果（2.10）中允许0c，则sin0u就包含在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原方程的通解为sinycxx例5求解方程2(0).dyxxyyxdx解将方程改写为2(0)dyyyxdxxx这是齐次方程，以,ydyduuxuxdxdx代入，则原方程变为2duxudx（2.11）分离变量，得到2dudxxu两边积分，得到（2.11）的通解ln()uxc即2[ln()](ln()0)uxcxc(2.12)这里的c是任意常数.此外，（2.11）还有解0u注意，此解不包括在通解（2.12）中.代回原来的变量，即得原方程的通解2[ln()](ln()0)yxxcxc及解0y.原方程的通解还可表为2[ln()],ln()0,0,xxcxcy它定义于整个负半轴上.注：1.对于齐次方程dyygdxx的求解方法关键的一步是令yux后，解出yux，再对两边求关于x的导数得dyduuxdxdx，再将其代入齐次方程使方程变为关于,ux的可分离方程.2.齐次方程也可以通过变换xvy而化为变量分离方程.这时xvy，再对两边求关于y的导数得dxdvvydydy，将其代入齐次方程dxxfdyy使方程变为,vy的可分离方程小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的dyygdxx形状的解法.而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法.2）形如111222axbycdydxaxbyc（2.13）的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,aabbcc均为常数.分三种情况来讨论（1）120cc情形.这时方程（2.13）属齐次方程，有1122axbydyygdxaxbyx此时，令yux，即可化为变量可分离方程.（2）11220abab，即1122abab的情形.设1122abkab，则方程可写成22122222()()()kaxbycdyfaxbydxaxbyc令22axbyu，则方程化为22()duabfudx这是一变量分离方程.（3）1112220,abccab及不全为零的情形.这时方程（2.13）右端的分子、分母都是,xy的一次式，因此11122200axbycaxbyc（2.14）代表xy平面上两条相交的直线，设交点为(,).显然，0或0，否则必有120cc，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点(0,0)移至(,)就行了，若令XxYy（2.15）则（2.14）化为112200aXbYaXby从而（2.13）变为1122aXbYdYYgdXaXbYX（2.16）因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程（2.14），设其解为,xy；(2)作变换（2.15）将方程化为齐次方程（2.16）；(3)再经变换YuX将（2.16）化为变量分离方程；(4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.13）的解.上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型111222axbycdyfdxaxbyc此外，诸如()dyfaxbycdx()()0yxydxxgxydy2()dyxfxydx2dyyxfdxx以及(,)()(,)()0MxyxdxydyNxyxdyydx（其中,MN为,xy的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.例6求解方程13dyxydxxy（2.17）解解方程组1030xyxy得1,2.xy令12xXyY代入方程（2.17），则有dYXYdXXY（2.18）再令YuX即YuX则（2.18）化为2112dXuduXuu两边积分，得22lnln21Xuuc因此22(21)cXuue记1,cec并代回原变量，就得2212YXYXc221(2)2(1)(2)(1)yxyxc此外，易验证2210uu即2220YXYX也就是（2.18）的解.因此方程（2.17）的通解为22262yxyxyxc其中c为任意的常数.3、应用举例例7电容器的充电和放电如图（2.1）所示的RC电路，开始时电容C上没有电荷，电容两端的电压为零.把开关K合上“1”后，电池E就对电容C充电，电容C两端的电压Cu逐渐升高，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C两端的电压Cu随时间t的变化规律.解对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理，cuRIE（2.19）对于电容C充电时，电容上的电量Q逐渐增多，根据CQCu，得到()CCdudQdICuCdtdtdt（2.20）将（2.20）代入（2.19），得到cu满足的微分方程ccduRCuEdt（2.21）这里R、C、E都是常数.方程（2.21）属于变量分离方程.将（2.21）分离变量，得到CCdudtuERC两边积分，得到11lnCuEtcRC即1112ttcRCRCCuEeece这里12cce为任意常数.将初始条件：0t时，0Cu代入，得到2cE.所以1(1)tRCCuEe（2.22）这就是RC电路充电过程中电容C两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压Cu从零开始逐渐增大，且当t时，CuE，在电工学中，通常称RC为时间常数，当3t时，0.95CuE，就是说，经过3的时间后，电容C上的电压已达到外加电压的95%.实用上，通常认为这时电容C的充电过程已基本结束.易见充电结果CuE.对于放电过程的讨论，可以类似地进行.例8探照灯反射镜面的形状在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地射出去，以保证照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状.解取光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向，设所求曲面由曲线()0yfxz（2.23）绕x轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求xy平面上的曲线()yfx的问题,仅考虑0y的部分,过曲线()yfx上任一点(,)Mxy作切线NT，则由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推知12从而OMON注意到2dyMPtgdxNP及22,,OPxMPyOMxy就得到函数()yfx所应满足的微分方程式22dyydxxxy（2.24）这是齐次方程.由2.12知引入新变量xuy可将它化为变量分离方程.再经直接积分即可求得方程的解.对于方齐次方程（2.24）也可以通过变换xvy而化为变量分离方程也可由xyv得d