2018考研数学高数基础讲义

２０１８新东方在线考研数学高数基础课程配套讲义欢迎使用新东方在线电子教材授课教师:张宇引　言目标形成教学知识结构建立基础数学素养{熟记基本概念、定理、公式掌握基本数学思想方法培养基本数学计算能力ìîíïïïï上课教材１)带你学系列,若自学第一步:看表格,读教材第二步:看表格,做练习题第三步:研读经典例题选讲ìîíïïïï带你学系列２)１８＋９＋９【注】张宇老师带你学系列就是同济七版里课后习题答案和精选的例题讲解,没有的同学,有同济六版或者七版的课本即可,后附每章带你学里的表格,有需要的同学可以查看．１新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列第一讲　极限核心考点综述１)定义２)性质３)计算４)应用一、定义１．函数极限∀ε＞０,∃δ＞０,当０＜|x－x０|＜δ时,有|f(x)－A|＜ε⇔limx→x０f(x)＝A２．数列极限xn{}　　n为自然数,n→¥,省去“＋”∀ε＞０,∃N＞０,当n＞N时,有|xn－a|＜ε⇔limn→¥xn＝a【注】１)趋向方式６种:x→x０,x→x＋０,x→x－０x→¥,x→＋¥,x→－¥∃δ＞０,０＜x－x０＜δ∃δ＞０,０＜x０－x＜δ∃X＞０,|x|＞X∃X＞０,x＞X∃X＞０,x＜－X２)f(x)的趋向方式f(x)→A,∀ε＞０,,,|f(x)－A|＜εf(x)→¥,∀M＞０,,,|f(x)|＞Mf(x)→＋¥,∀M＞０,,,f(x)＞Mf(x)→－¥,∀M＞０,,,f(x)＜－M２新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列【例】用定义证明i．　limx→－１２１－４x２２x＋１＝２ii．　limx→＋¥３x＋１２x＋１＝３２【分析】用定义证明极限式通常用下面两种方法:１)反解不等式法.写出不等式|f(x)－A|＜ε,从中解出|x－x０|或x,便可求得δ.(１)由定义∀ε＞０,∃δ＞０,当０＜x－(－１２)＜δ时,有１－４x２２x＋１－２＜ε⇒１－２x－２＜ε２＝δ,故∀ε＞０,∃δ＝ε２,当０＜|x－(－１２)|＜δ时有１－４x２２x＋１－２＜ε,证毕.再如limx→３(３x－１)＝８∀ε＞０,∃δ＞０,当０＜|x－３|＜δ时,有|３x－１－８|＜ε⇒３|x－３|＜ε⇒|x－３|＜ε３＝δ再如证limx→２(５x＋１２)∀ε＞０,∃δ＞０,当０＜|x－２|＜δ时,有|５x＋２－１２|＜ε⇒５|x－２|＜ε⇒|x－２|＜ε５＝δ２)适当放缩,再证明不等式.证limx→＋¥３x＋１２x＋１＝３２(２)∀ε＞０,∃X＞０,当x＞X时,有３x＋１２x＋１－３２＜ε.当|f(x)－A|＜ε较复杂,不易解出|x－x０|,|x|时,可考虑|f(x)－A|＜g|x－x０|(),g(|x|)g一定要简单,从g|x－x０|(),g(|x|)＜ε中解出|x－x０|,|x|即可.３新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列１２(２x＋１)＜１４x＜１x＜ε⇒x＞１ε,取X＝１ε,证毕.若改写为limn→¥３n＋１２n＋１＝３２∀ε＞０,∃N＞０,当n＞N时,有３n＋１２n＋１－３２＜ε⇒１２(２n＋１)＜１４n＜１n＜ε⇒n＞１ε,取N＝１εéëêêùûúú,证毕.二、性质(三大)１．唯一性,若limx→０f(x)＝A(∃),则A唯一．若limn→¥xn＝a(∃),则a唯一．【例】设a为常数,且I＝limx→０e１x－πe２x＋１＋a􀅰arctan１xæèçöø÷存在,求a、I．【分析】x→０＋:e１x→＋¥,e２x＝(e１x)２→＋¥,arctan１x→π２I＋＝π２􀅰ax→０－:e１x→０,e２x＝(e１x)２→０,arctan１x→－π２I－＝－π－π２􀅰a由唯一性⇒I＋＝I－,即π２􀅰a＝－π－π２􀅰a⇒a＝－１,I＝－π２【注】limx→０e１x－πe２x＋１不存在,limx→０－arctan１x不存在;常见“不存在＋不存在＝存在”,命题题型.２．局部有界性若limx→０f(x)＝A(∃),则∃M＞０,当x→􀅰时,|f(x)|≤M.【证】∀ε＞０,x→􀅰时,f(x)－A＜ε⇒f(x)＝f(x)－A＋A≤f(x)－A＋A＜ε＋A＝１＋A＝M．∃M＞０中学:|a±b|≤a＋ba１±a２±􀆺±an≤a１＋a２＋􀆺＋an【用】如:f(x)＝sinxx在(０,１)内有界吗?【分析】(１)若是f(x)是a,b[]的连续函数,则f(x)在a,b[]有界.(２)考研中,若f(x)是a,b()的连续函数,且limx→a＋f(x)∃,limx→b－f(x)∃,则f(x)在４新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列a,b()有界.【例】f(x)＝xsin(x－２)x(x－１)(x－２)２在()区间有解.A．(－１,０)　　　　B．(０,１)　　　　C．(１,２)　　　　　D．(２,３)【分析】limx→－１＋－xsin(x－２)x(x－１)(x－２)２＝－sin(－３)(－２)􀅰９(∃),limx→０－－xsin(x－２)x(x－１)(x－２)２＝－sin(－２)(－１)􀅰４(∃)３．局部保号性(保序性)若limx→０f(x)＝A＞０,则当x→０时,f(x)＞０若limx→０f(x)＝A＜０,则当x→０时,f(x)＜０【证】∀ε＞０,x→０,f(x)－A＜ε⇒A－ε＜f(x)＜A＋ε取ε＝１,⇒A－１＜f(x)＜A＋１,若A＝２,１＜f(x)＜３,取ε＝A２＞０,⇒０＜A２＜f(x)＜３A２【用】limx→０f(x)＝f(０),且limx→０f(x)１－cosx＝３,则x＝０是()A．极大值点　　　B．极小值点　　　　C．非极值点　　　　D．无法判断【分析】⇒f(x)１－cosx＞０⇒f(x)＞０,又f(０)＝limx→０f(x)＝limx→０f(x)１－cosx􀅰(１－cosx)＝０三、计算(００,¥¥,¥•０,¥－¥,¥０,００,１¥)－－七种未定式(不定式)使用工具１．洛必达法则(１６９４)a)　若limx→０f(x)＝０,limx→０g(x)＝０,b)　limx→０f(x)g(x)∃,则limx→０f(x)g(x)＝limx→０f′(x)g′(x),右∃⇒左∃．如P９７(同济六版上册习题３－２第３题)３．验证limx→０x２sin１xsinx存在,但洛必达对其束手无策.【分析】原式＝limx→０xsinxxsin１x＝０(∃)５新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列再如P９７(同济六版上册习题３－２第２题)２,验证limx→¥sinx＋xx存在,但洛必达对其束手无策.limx→¥sinx＋xx＝limx→¥sinxx＋１＝１．２．泰勒公式第一组:００,¥¥,¥•０,【例１】limx→０１＋tanx－１＋sinxx１＋sin２x－x,(００)(见根号差用有理化)化简＝limx→０tanx－sinxx􀅰１２􀅰sin２x􀅰１１＋tanx＋１＋sinx＝１２􀅰limx→０tanx(１－cosx)x􀅰１２􀅰sin２x＝１２【注】计算之前先化简:a)恒等变形(有理化、加减乘除同一式子、提公因式等).b)等价无穷小替换.c)及时提出极限≠的因式.【例２】limx→０ex２－e２－２cosxx４,(００)＝limx→０e２－２cosx(ex２－２＋２cosx－１)x４＝limx→０x２－２＋２cosxx４＝limx→０２x－２sinx４x３＝limx→０１－cosx６x２＝１１２【例３】limx→１－lnx􀅰ln(１－x).６新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列【分析】引例:求limx→０＋xlnx,(０􀅰¥)原式１＝limx→０＋x１lnx＝limx→０＋１－１ln２x􀅰１x＝－limx→０＋xln２x２＝limx→０＋lnx１x＝limx→０＋１x－１x２＝limx→０＋－x＝０⇒“设置分母有原则,简单因式才下放”简单:xα,eβx复杂:lnx,arcsinx,arctanx,　{第二组:¥－¥a)有分母,则通分【例】limx→０(１sin２x－cos２xx２),(¥－¥)＝limx→０x２－cos２xsin２xx４＝limx→０x２－１４sin２２xx４＝limx→０２x－１４２sin２x•cos２x•２４x３＝４３b)没有分母,创造分母,再通分.【例】limx→＋¥x２e１x－１()－x[],(¥－¥),令x＝１t＝limt→０＋et－１t２－１tæèçöø÷＝limt→０＋et－１－tt２＝limt→０＋et－１２t＝１２第三组:¥０,００,１¥U(x)V(x)＝eV(x)lnU(x),xx＝exlnxlimx→０＋xx＝limx→０＋exlnx＝e　　limxlnxx→０＋＝e０＝１(xx)′＝(exlnx)′＝exlnx(lnx＋１)７新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列【例１】limx→＋¥(x＋１＋x２)１x(¥０)＝elimx→＋¥ln(x＋１＋x２)x(¥¥)＝elimx→＋¥ln(x＋１＋x２)x＝elimx→＋¥１１＋x２１＝e０＝１【例２】limx→π４(tanx)１cosx－sinx,(１¥)＝elimx→π４tanx－１cosx－sinx,(００)＝elimx→π４sec２x－sinx－cosx＝e－２公式:１¥limuv＝elimvlnu＝elimv(u－１)【注】近年来,数列极限的计算也是重点.１)若xn{}易于连续化,转化为函数极限的计算即可.【例】limn→¥(n􀅰tan１n)n２改成(连续化)limx→＋¥(x􀅰tan１x)x２,【解】记x为连续变量,计算limx→＋¥(x􀅰tan１x)x２由“归结原则“:若limx→＋¥f(x)＝Ax为连续变量(),则limn→¥f(n)＝A(n为自然数)．８新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列２)若xn不易于连续化,考虑夹逼准则和定积分定义.【例】limn→¥(１n２＋n＋１＋１n２＋n＋２＋􀆺＋１n２＋n＋n)n２n(n＋１)２n２＋n＋n≤∑ni＝１in２＋n＋i≤n(n＋１)２n２＋n＋１３)xn由递推式xn＝f(xn－１)给出.【TH】若xnxn↗且有上界,xn↘且有下界,{⇒limn→¥xn∃【例】设a＞０,x１＞０,xn＋１＝１３(２xn＋１x２n),n＝１,２,􀆺,证明xn收敛并求limn→¥xn四、应用———连续与间断１．原则“任何初等函数在其定义区间内连续”,故只需研究两类特殊的点:●分段函数的分段点;●无定义点;(必间断)２．连续的定义若limx→x０f(x)＝f(x０),则称f(x)在x＝x０处连续.９新东方在线[．koolearn．com]考研数学网络课堂电子教材系列(【注】lim△x→０f(x０＋△x)－f(x０)[]＝０是等价写法)３．间断的定义设f(x)在x＝x０点的某去心邻域有定义,limx→x＋０f(x)＝limx→x－０f(x)＝f(x０)１)若limx→x＋０f(x)≠limx→x－０f(x),称x０为跳跃间断点.２)若limx→x＋０f(x)＝limx→x－０f(x)≠f(x０),称x０为可去间断点.１)与２)统称为第Ι类间断点.１)、２)至少一个不存在的条件下,３)若limx→x＋０f(x)＝¥或limx→x－０f(x)＝¥,称x０为无穷间断点.４)若limx→x＋０f(x)或limx→x－０f(x)为震荡不存在,称x０为震荡间断点.３)、４)属于第II类间断点.【例】设f(x)＝ln(１＋ax３)x－arcsinx,　　x＜０６,　　　　　　x＝０eax＋x２－ax－１xsinx４,x＞０ìîíïïïïïïïïa＝?时,x＝０是f(x)的可去间断点．【作业】同济版高数上册习题３－２第４题讨论f(x)＝(１＋x)１xeéëêêùûúú１x,x＞０,e－１２,x≤０ì