N-S方程推导

模拟flunte软件模拟T型血管内的血流动力学1.模型的建立2.1N-S方程N-S方程的最初形式1.作用在单元体上的力作用力有两类，即质量力和表面力。1.1质量力质量力是作用在每一个流体质点上，大小与流体的质量成正比。工程流体力学中，会遇到两种质量力：重力和惯性力。惯性力是一个很特殊的称谓，原来中学教程中认为惯性力并不是力，但是实际上，在出现加速度的时候，惯性力的作用同普通力完全一样的，只是惯性力会随着加速度的消失而消失。如果认为惯性力是一种力，那么牛顿第二定律（1）也可以认为是力的平衡。式的右端就是惯性力，左端就是其他的常规力。其实观察一下重力，mgG，同惯性力的ma本质上是一致的，g本身就是重力加速度。假设单位质量流体上的质量力在各个坐标轴的分量分别为X，Y，Z。图1流体单元体的质量为：dxdydz。则作用在流体单元体上的质量力在坐标轴的分量分别为：dxdydzX、dxdydzY、dxdydzZ。1.2表面力作用在隔离流体（也就是所取的研究流体单元）的表面，和作用的面积成正比的力。分为垂直于作用面的压力和眼沿作用面方向的切力。表面力可以使作用于流体界面的压力、切力。单位作用面的压应力、切应力即为图1中的、（第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示力的方向）。以X方向为例，流体单元受到的力：dxdydzzdzzdxdzdyydyydydzdxxdxxzxzxzxzxyxyxyxyxxxxxxxxxx222222G(2)即:dxdydzzyGzxyxxxxX(3)y，z方向同理可获得。dxdydzzyxGzyyyxyx（4）dxdydzzyxGzzyzxzx（5）2.单元体的加速度和重量加速度和质量的乘积（（1）式右侧）在三个方向上的分量分别为：dxdydzdtdumaxx（6）dxdydzdtdumayy（7）dxdydzdtdumazx（8）将（3）（6）式代入（1）式，X方向有：dtdudxdydzXdxdydzdxdydzzyxxzxyxxx（9）即：Xzyxdtduzxyxxxx（10）同样：Yzyxdtduxyyyxyy(11)Zzyxdtduzzyzxzz(12)二、应力形式化简1、切应力与应变的关系xuyuyxyxxy（13）xuzuzxzxxz（14)yuzuzyzyyz(15)2、法向应力与应变的关系uxupxxx322（16）uyupyyy322（17）uzupzzz322（18）将（13）、（16）代入（10），uxxuxpuxxuxxpuxupxxxxxxx32232232222（19）yxuyuxuyyuyxuyuyyyxyxyxyx222（20）zxuzuxuzzuzxuzuzzzxzxzxzx222（21）即：XuxuxpXuxuxuxpXuxzuyuxuxuxpXuxzxuyxuxuzuyuxuxpxyxuzuyxuuxxuxPXzyxdtduxxzyxxzyxxxxxyxzxyxxxx3132323232222222222222222222222（22）同理：Xuxuxpdtduxx312(23)Yuyuypdtduyy312（24）Zuzuzpdtduxz312(25)矢量形式：Fuupdtud312(26)三、不可压缩流体的N-S方程连续性方程的基本推导原理就是，单元体流出、流入质量差等于该时间段内质量的变化。原理是很简单的。没有流入流出质量就不会变化，流入流出有了差值，说明单元体的质量变化了。仍以x方向为例。左侧质量流速（一般的流速是体积流速，m/s,为了推到质量的变化需要引入质量流速，质量流速的定义就是单位时间内通过单位横截面的流体质量）为xu，质量流速是位置的函数，因此在右侧面流出的质量流速为dxxuuxx。时间段dt内流出、流入单元体的质量差为：dxdydzdtxudydzdtudydzdtdxxuuxxxx（27）同理，改时间段dt内y方向，z方向的流出流入质量差为：dxdydzdtyuy（28）dxdydzdtzuz（29）因此，时间段dt内单元体六面流出、流入的质量差为：dxdydzdtzuyuxudxdydtzudxdzdtyudxdydtxuzyxzyx（30）该时间段dt内单元体质量的变化体现在密度随时间的变化上，开始时间密度为，dt时间末密度为dtt。质量的变化为：dxdydzdttdxdydzdttdxdydz（31）根据质量守恒，（30）式等于（31）式，即dxdydzdttdxdydzdtzuyuxuzyx（32）化简:0tzuyuxuzyx(33)0tu(34)如果不可压缩流体，密度=0,tanttcons，密度项可以提取出来，散度为：0u（34）将（34)式代入（26）式，不可压缩流体的N-S方程为：Fupdtud2(35)四、加速度项dtud的处理流动中，不仅不同位置的点具有不同的速度，就是在同一点，不同时刻速度也可能不同。速度即时位置的函数也是时间的函数。因此，加速度有两部分组成，迁移加速度和当地加速度。以x方向为例，加速度的表达式为：dtdzzudtyyudtdxxutudttzyxduaxxxxxx,,,(36)式中，单位时间内，x(或y,或z）方向的增量既是x方向的加速度，即：zyxudtdzudtdyudtdx,,（37）代入（36)式，y方向，z方向同理，得到不同方向的加速度为：zuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx（38）矢量形式为:uutudtuda(39)将（39）式代入（26）式，可得最常见的N-S方程形式：Fupuutu2(40)或可写为：uutuFup21（41）这篇论文主要研究在微血管的分叉处几何结构的血流动力学。微血管又称毛细血管（capillary)是最细的血管、平均约为6-9m，分布最广，它是连接微动脉和微静脉的血管。它们分支并相互吻合成网。关闭薄，通透性强。其功能是利用血液与组织之间进行物质交换。血液是一种具有相当粘性的流体。在正常情况下，血液的粘度系数是水的3-4倍。由于血液是一种复杂的流体，既有液相(血浆)又有固相(血细胞等)，影响血液粘性的因素比较多。在多数情况下，血液的粘度主要决定于血液中红细胞数。每毫升血液中红细胞数愈多则粘度愈大。贫血时红细胞减少，则血液粘度降低，而红细胞增多症的患者，血液粘度增加，血液在血管内流动，对血流的阻力是来自血液内部摩擦，即血液的粘度。在整个心动周期中，主动脉中血流平均速度只有临界速度的一半，但在心缩开始时射血期内速度会超过临界速度。剧烈运动时，心输出量增加4-5倍，心缩期间有较长的时期主动脉血流速度超过临界速度，出现湍流。正常情况下，除心瓣膜附近外，循环系统的其他部位不会有湍流。层流是平静的，没有音响的。湍流有涡旋和震动，出现噪音。因此，在循环中听到异常的噪音就应注意是什么原因引起的。简单来说，人体血流动力学的改变，说明身体内部由于疾病的产生和存在，因此出现了问题。