N-s方程的推导

N-S方程的推导对运动流体的应力状态作进一步分析，定义应力张量给出应力张量和变形率张量之间的联系。建立不可压缩流体运动微分方程—N-S方程。运动流体的应力状态•静止流体（不论理想或实际流体）•运动理想流体pP=-pnpP=-pnp：动压强p：静压强0dddd),cos(ddVtuVYApApynnyyyndxdydzpypnnyzxoM0d),cos(ddVYApApnnyyyn静止流体运动理想流体•静止流体和运动理想流体中的四面体微元运动方程中质量力（含惯性力）比起表面力是高阶无穷小，当四面体微元趋于一点，即可得证ynppPnn•运动实际流体应力四要素：点、面、侧、分量方向。一点处的应力pn取决于作用面法向，所以脚标中须加上n对于运动实际流体，既有法向应力，也有切向应力xxp的含义：xyp的含义：pn分量形式),,(nznynxppp脚标含义：前一个表示作用面方向；后一个表示应力分量之投影方向。法向为x轴正方向的作用面上的应力在y方向的分量。（切应力）法向为x轴正方向的作用面上的应力在x方向的分量。（法应力）•应力分量主对角线上的三个元素是法应力分量，其它是切应力分量。应力张量九个量组成的二阶张量可以证明这个张量是对称的，只有六个独立的分量。zzzyzxyzyyyxxzxyxxppppppppp][P•应力张量法应力为正表示受拉有了应力张量[P]，任意方位作用面上的应力都可知道，为：][Pnpnzzyyyyxxynynpnpnpp例如法向为n的作用面上应力的y方向的分量运动流体的应力状态可由应力张量来描述。•任意方位作用面上的应力应力张量主对角线上三个元素之和是坐标变换中的不变量，即其值不随坐标轴的转动而改变，任意三个相互垂直的作用面上的法应力之和都是相同的。)(31zzyyxxpppp•流体的动压强流体的动压强由场点唯一对应，而与作用面的方位无关。所以运动流体中存在一动压强场，它是数量场。要注意p并非任意方位作用面上真正的压应力nnp定义流体的动压强•广义牛顿内摩擦定律斯托克斯提出认为流体运动满足以下假设：（1）流体是连续的，它的应力矩阵与变形率矩阵成线性关系，与流体的平动和转动无关。（2）流体是各向同性的，其应力与变形率的关系与坐标系的选择和位置无关。（3）当流体静止时，变形率为零，流体中的应力为流体静压强。在静止状态下，流体的应力状态为：0[][]pP应力矩阵与变形率矩阵写成如下线性关系式：[][][]abP系数a、b是与坐标选择无关的标量基于斯托克斯假设可以推理证明得到：根据斯托克斯假设令)(31zzyyxxpppp2a0u对不可压缩流体：[P]2[][]p详细推导过程见：由此可得：2()3ubp•广义牛顿内摩擦定律2][P][][p牛顿内摩擦定律yudd推广各向同性的不可压缩牛顿流体的应力和变形速率之间存在线性关系广义牛顿内摩擦定律[]单位矩阵[]变形速率张量•广义牛顿内摩擦定律2][P][][p[]表示变形速率的张量[]xxxyxzyxyyyzzxzyzz1()2yxxyuuxy例：xxxux100[]010001I单位矩阵理论基础是动量守恒定律，讨论在欧拉观点下进行。按照欧拉观点表述动量守恒定律：单位时间控制体内动量的增加必等于单位时间净流入控制体的动量加上控制体内流体所受合力。N-S方程推导思路：以应力表示的流体运动微分方程xyzodxdydzuxabcda’b’c’d’•单位时间里，从abcd面流入微元体的流体质量为zyuxdd流入微元体的x方向的动量为zyxxuuuuxxxxddd)(zyuuxxdd从a’b’c’d’面流出的x方向的动量为净流入前后这一对表面的x方向的动量为zyxxuuxxddd)(同理可知，在单位时间里，沿着y方向和z方向净流入左右和上下两对表面的x方向的动量分别为zyxyuuxyddd)(zyxzuuxzddd)(和dxabcda’b’dydzc’d’uzuyxyzo•作用于六面体表面沿x方向的表面力有：前后一对面元法向力左右一对面元切向力-pzxxyzozyxxppzypxxxxxxdd)d(ddzxyyppzxpyxyxyxdd)d(ddyxzzppyxpzxzxzxdd)d(dd上下一对面元切向力zyxzpypxpzxyxxxddd)(相加得沿x方向的总表面力dxdzdy-pyx-pxx•作用于六面体微元沿x方向的质量力为zyxXddd•单位时间微元内x方向动量的增加为zyxtuxddd)(zyxzuuyuuxuuzyxtuxzxyxxxddd])()()([ddd)(zyxzpypxpzyxXzxyxxxddd)(ddd•根据动量守恒原理动量增加流入动量质量力表面力][zuuyuuxuutuxzxyxxx)(])()()([)(zpypxpXzuuyuuxuutuzxyxxxxzxyxxx])()()([zuyuxutuzyxxtuxdd)(1ddzpypxpXtuzxyxxxx0由连续方程知左边等于整理得方程组不封闭)(1ddzpypxpYtuzyyyxyy)(1ddzpypxpZtuzzyzxzz)(1ddzpypxpXtuzxyxxxx•以应力表示的流体运动微分方程2][P][][p将广义牛顿内摩擦定律代入得)]()()([1ddxuzuzyuxuyxpxuxuxXtuzxxyxxx)()(1222222zuyuxuxzuyuxuxpXzyxxxx不可压缩粘性流体的运动微分方程——N-S方程2222222zyxxu2)()(1dd222222zuyuxuxzuyuxuxpXtuzyxxxxx0不可压xxzxyxxxxuxpXzuuyuuxuututu21dd拉普拉斯算子对跟随其后的量求调和量ufuuuu21)(ddptt矢量形式zzzzyzxzzuzpZzuuyuuxuututu21ddyyzyyyxyyuypYzuuyuuxuututu21ddxxzxyxxxxuxpXzuuyuuxuututu21dd时变惯性力位变惯性力质量力压差力粘性力方程组封闭ypYzuuyuuxuututuyzyyyxyy1ddzpZzuuyuuxuututuzzzyzxzz1ddxpXzuuyuuxuututuxzxyxxxx1ddptt1)(ddfuuuu时变惯性力位变惯性力质量力压差力理想流体的运动微分方程——欧拉方程矢量形式01pf•流体静止时，只受质量力、压差力的作用，运动方程退化为欧拉平衡方程流体动力学定解问题和解法概述微分形式流体运动方程连同连续方程，形成对流体运动的基本控制方程组，是求解流速场和压力场的理论基础。四个方程可求四个未知量：p和u，方程组是封闭的。但由于运动方程是二阶偏微分方程，其中的位变惯性力（常称为对流项）是非线性的，解析求解非常困难。基本微分方程组•忽略粘性，作理想流体假设，从流动的维数上作简化，都是常见的手段。如果流动是有势流动，解析处理就有更多的便利条件。解法概述•只有在极少数简单流动的情况下，N-S方程才有解析解。而绝大部分流动都不能直接对N-S方程解析求解，我们只能抓住问题的主要方面，作相应的简化，才能进行进一步的解析处理。•各种简化都是在基本方程的基础上进行的，所以深入理解方程中各项的物理意义是非常重要的。•边界条件是指运动方程的解在流场的边界上必须满足的运动学和动力学条件。常见的边界条件有：固壁条件和液体的自由表面条件。初始条件和边界条件流体动力学定解问题流体运动基本方程初始条件边界条件流动共性体现个性•初始条件是对非恒定流动指定初始时刻流场的速度和压强分布。不要求大家掌握方程的推导过程，了解大致思路就可以了注意动压强与静压强是完全不同的概念记住方程的表达式21()ptuuufu