N-S方程的精确解

典型问题N-S方程的精确解2020/3/712020/3/72N-S方程的精确解一.平行流动（ParallelFlow）二.Stokes流动问题讨论三.重力作用下的平行流动四.小雷诺数流动五.圆管内非定常流动六.润滑理论当密度为常数时，N-S方程为：其中X,Y,Z是单位质量流体受的质量力。)1)1)1222222222222222222zuyuxuzpZzuuyuuxuutuzuyuxuypYzuuyuuxuutuzuyuxuxpXzuuyuuxuutuzzzzzzyzxzyyyyzyyyxyxxxxzxyxxx（（（jjiiiixxuxpfdtdu2由于非线性项的存在，在数学上求解困难，只有在它为零时，才可以求得精确解。可解的情况：1.Re很小的极慢流动：惯性项与粘性项对比很小，可以不计，方程变成线性。2.Re很大，此时，ν只影响近边界处的流动，称之为边界层，边界层内流动的简化求解，边界层外的流动忽略粘性，按理想流动处理。3.数值求解二维平板间粘性流体的流动假定不可压缩粘性流体流过宽为2H的二元静止平板假设：（1）流动是稳定（2）质量力略去不计（3）流动为层流xy01111122222222222222222222222222yuxuyuuxuuyuxuypyuuxuuyuxuxpzuuyuuxuutuzuyuxuzpZzuuyuuxuutuzuyuxuypYzuuyuuxuutuzuyuxuxpXyxyyyxyyxyxxxxzzzyzxzzzzyzyyyxyyyyxzxyxxxxxx对于二维流动22221yuxuypyuuxuuyyyyyx22221yuxuxpyuuxuuxxxyxx22221yuxuypyuuxuuyyyyyx0yuxuyx0xuyuu0ypxpp压强仅为x的函数，而与y无关。即沿x轴取不同横截面上的压力分布是均匀的，但不同截面具有不同的压力。uux，0uy层流`xy22221yuxuxpyuuxuuxxxyxx0xuyuu0ypxppdxdp1dyud22偏微分改变为常微分左边应为y的函数，右边应为x的函数两边相等的条件两边均为常数cdxdpdxdpdyud122压力沿x轴线性变化11cydxdpdyudxy0,01＝则时，当cdyduoyydxdpdyud1xy2221cydxdpu11cydxdpdyud2221,0HdxdpcuHy＝则时，当22yHdxdp21u静止平板的边界条件：y=H,u=0,在x轴上，速度为最大。y=0,22maxHy1uu可见速度分布为抛物线规律，这是层流的重要性质。一平行流动Couette流（库埃特流动）Poiseuille流动（泊肃叶流动）平行流动分析：，，时，与x无关。则它是u的线性二阶偏微分方程。c0xu0zyuu0xuxzyuux,xpp)1(1122222222zuyuxpXtuzuyuxpXtuxxx0zuyuxuzyx0zpyp)1)1)1222222222222222222zuyuxuzpZzuuyuuxuutuzuyuxuypYzuuyuuxuutuzuyuxuxpXzuuyuuxuutuzzzzzzyzxzyyyyzyyyxyxxxxzxyxxx（（（一．Couette流（库埃特流动）即平板平行流动设流动恒定，Z方向不变.则（1）式变成边界条件：0xp0tux)2(22dyuddxdp)3(,0,0Uuhyuy)1(12222zuyuxpXtu与y有关,与x无关于是积分（2）式可求（4）式无量纲化，令，则。dxdp。x，ypyp，SN为常数则有关与无关与方程由,0)4(122hyhydxdphUhyu)5(12230dxdphUhudyQhdxdpUhP22dxdp)2(22dyuddxdpdxdpUhP22)6(1hyhyPhyUu顺压逆压有可能回流。0,00,0dxdpP，dxdpP当当11、当P=0，，，速度分布线性称为简单Couette流。2、当P0，，顺压强沿流向逐渐降低,整个流速为正。0dxdphyUudxdpUhP22hyhyPhyUu10dxdp为一抛物线，处，速度曲线与y相切.221,1)1(yuhyhyhyhyUuP0hyy02ydyduhyhyPhyUu13.当P0。hUdxdp极限梯度值逆压梯度不产生回流的022122dxdpUhP在下板附近流速是负值,将产生回流。这说明上板面对流体的拖动不足以克服逆压梯度对流动的影响.如P=-2,-3值逆压梯度超过极限梯度22,1)2(hUdxdpPPhUUhdxdpUhhUUhdxdphUhudyQh62262122230当P=-3时，Q=0，逆压梯度对流量的作用与上板拖动所形成的流量已达平衡。当P‹-3则逆压梯度对流量的作用更强，使流量变为负值。定义：由压强梯度推动的管、槽中的流动称为泊肃叶流动。1.二维槽流方程：坐标选取如图边界条件：（2）)1(22dyuddxdp)2(0,0,ubyuby二．Poiseuille流动（泊肃叶流动）积分（1），利用（2）得断面上最大速度平均流速单位宽度流量2221ybdxdpudxdpbbdxdpu22122maxdxdpbudybVbb3212dxdpbbVq32232.圆管层流流动:采用圆柱坐标,00ruuuuuxr柱坐标下的N-S方程、连续性方程011112111211122222222222222222222222222xuurrurururxuurruxpxuuururuuturuurrurxuurruprruuxuuururuuturuurrurxuurrurpruxuuururuutuxrrxxxxxxxxrxrrxrrrrrrrxrrrr由连续性方程得，，则N-S方程变为（1）（2）（3）由（1）、（2）知p与r、θ无关，则可设（4）022xu0xu011010122rurruxpprrpxfdxdp1而由（3）可见，是一个常数，令，改写上式并积分rfrurrudxdp122dxdpcdxdp2202022022211222414141410211rrdxdprrdxdpurcccrcu：ccrcdrdur：crdrdudrudr边界条件边界条件再积分积分之一.Stokes流动问题Stokes第一问题-------突然加速平板引起的流动Stokes第二问题-------震动平板引起的流动在无限空间中静止的平板突然起动沿其自身平面加速至固定速度U0从而带动其周围原来处于静止的不要压缩流体运动。设板长无穷二维处理：则N-S方程简化为为经典的热传导方程2222221zuyuxuxpzuuyuuxuutuxxxxzxyxxxctyuux,0zyuu000022xpc，p，pxu，xuxx)1(22yutu一．Stokes第一问题------突然加速平板引起的流动0U边界条件（2）此问题由Stokes解决。具体方法如下：偏→常微！令：（3）（4）代入（1）得（5）yutyUutut,0,00,,00,00ty2函数仅是，ffUu)(00'2ff推导如下0,0,,,1,0,00'2212121212121212')1(),(,2022223220ufyUufyfftftyftyftyftyftfyyuyyutyftutuyutufUuty边界条件由即：为补偿误差函数具体计算时查表(1)当η=1.82时，u/U0=erfcη=0.01,这说明平板突然加速至U0由于粘性而带动周围流体运动形成的流速场中.(2)当η≤1.82时，薄层称为边界层.薄层流动内流速大于U0的百分之一.(3)当η›1.82时，以上的流层流速只有U0的百分之一以下,可以看作没有影响或影响很小当η=1.82以外：势流区考虑。erfcUuff0,0'2解为dzzerferfcf02exp211)(tty64.32tty64.32平板通过流体粘性而带动的流体运动只发生在η≤1.82的薄层以内，称为边界层。对于流场中的某给定点y处，其流速随时间的增加而增大，当t→∞时该点流速可达到U0二．Stokes第二问题------振动平板引起的流动0,cos,0,,00uytUtutyuy：边界条件2cuk波数)1(22yutukyteUtyukycos,0yky2无限平板沿自身平面作简谐振动通过粘性而带动周围原来处于静止的流体所形成的流动。平板在半无限空间流场内的N-S方程可表示为方程（1）解为：令teUtyucos,0二.重力作用下的平行流动有两种情况：（1）两个倾斜的无穷大的平板之间的粘性流动，下平板固定，上平板在x方向以速度U运动。边界条件(2)斜坡泄流。即上平板去掉，靠重力下流。边界条件；0,0,uyUuhy0,0,0d