初三数学-几何证明(三)综合-北师大版-含答案

1题型分类：无星代表普通高中★重点高中★★三大名校图形形状定义判定菱形一组邻边相等的平行四边形叫菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。矩形一个内角是直角的平行四边形叫矩形一个内角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；三个内角都是直角的四边形是矩形。正方形一组邻边相等的矩形叫正方形一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：初三数学（尖子班）讲义几何证明（三）综合一、魔法装备平行四边形菱形矩形正方形一组邻边相等一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直平分）一内角为直角一邻边相等或对角线垂直一个内角为直角（或对角线相等）2例题1、（2011肇庆）如图1，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠ACB=30，菱形OCED的面积为38，求AC变式练1-1、(2011南京)如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．⑴求证：△ABF≌△ECF⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．★变式练1-2、（2010山东日照）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．ABCDEF二、魔力升级BA图1OECD3边BC上的中线，过点A作AEBC，过点D作例2、（2011浙江衢州）如图，ABC中，AD是//,DEABDE与ACAE、分别交于点O、点E，连接EC（1）求证：ADEC;（2）当RtBAC时，求证：四边形ADCE是菱形；ODAEBC★变式练习2-1、如图，在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED＝90°，则四边形ABCD是矩形。试说明理由。★变式练2-2、（09甘肃兰州）如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．ABCDEO4★例题3、（2010宁夏回族自治区）在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明．(2)若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．（一）选择题：相信你一定能选对！1、已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（）A．23cmB．24cmC．23cmD．223cm2、下列说法正确的是（）A.两条对角线相等的四边形是平行四边形；B.两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D.两条对角线平分且相等的四边形是正方形。3、顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形4、下列命题中，不成立的是（）．A.等腰梯形的两条对角线相等B.菱形的对角线平分一组对角C.顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5、若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（）A.等腰梯形B.矩形C.正方形D.菱形三、魔法比拼4321MFEDCBA_B_C_D_A56、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等腰三角⑥等边三角形，一定可以拼成的是（）A.①④⑤B.②⑤⑥C.①②③D.①②⑤（二）填空题：你能填得又快又对吗？7、菱形ABCD的周长为52cm,2:1:ABCBAD,则BD=。★8、如下图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE=AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为29，则正方形边长为；★9、（2010甘肃定西）如下图，在ABC△中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DECA∥，DFBA∥．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果90BAC，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是菱形.其中，正确的有.（只填写序号）（第8题图）（第10题图）★10、（2011湖北襄阳）如上图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t＝秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.ＡＦＣＤＢＥ第9题图PQEDBCAABCDEF6三、解答题：耐心做一做11、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．(1)求证：△BDF≌△CDE；(2)若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．★12、如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°。求证：EF=BE+DF。★★1、(2011天津市)如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．（Ⅰ）该正方形的边长为（结果保留根号）；（Ⅱ）现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程：______________________．四、越战越勇ADFCEB7★★2、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC△中，点DE，分别在ABAC，上，设CDBE，相交于点O，若60A°，12DCBEBCA．请你写出图中一个与A相等的角，并证明图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC△中，如果A是不等于60°的锐角，点DE，分别在ABAC，上，且12DCBEBCA．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．逻辑学的用处有个学生请教数学家逻辑学有什么用。数学家问他：“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干干净净，你认为哪一个该去洗澡？”“当然是脏的那个。”学生说。“不对。脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里会去洗澡？”(每题20分，共100分)1、（2011湖北襄阳）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形2、已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（）A．23cmB．24cmC．23cmD．223cm五、魔力宝盒六、巅峰对决BOADEC83、如图3，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠C＝700，AE⊥BD于E，则∠DAE＝度。4、如图4，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是（填上你认为正确的一个即可）。5、如图5，在正方形ABCD内取一点M，使△MAB是等边三角形，那么∠ADM的度数是自我评价今天你回答了几个问题？≥4个魔法师（）3个学徒（）≤2个平民（）小组评价小组今天最后成绩？第一名飞龙队（）第二名飞虎队（）第三名飞马队（）(每小题25分，满分100分)1、几种特殊四边形的定义(在箭头上填上适当的条件)2、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示。红丝带重叠部分形成的图形是（）。A．正方形B．等腰梯形C．菱形D．矩形七、英雄排行榜八、闭关修炼菱形四边形平行四边形矩形正方形梯形等腰梯形直角梯形9答案例题1、解：（1）证明：∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形∴AO=OC=BO=OD∴四边形OCED是菱形．（2）∵∠ACB=30°∴∠DCO=90°—30°=60°又∵OD=OC，∴△OCD是等边三角形过D作DF⊥OC于F，则CF=21OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x在Rt△DFC中，tan60°=FCDF∴DF=FCtan60°x3由已知菱形OCED的面积为38得OCDF=38，即3832xx解得x=2，∴AC=42=8变式练1-1、证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.∵EC=DC,∴AB=EC．在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，∴⊿ABF≌⊿ECF．（2）解法一：∵AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF，BF=CF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．∴FA=FE=FB=FC,∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．解法二：∵AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．∴口ABEC是矩形．★变式练1-2、（1）证明：∵∠AEF＝90o，∴∠FEC+∠AEB＝90o．………………………………………1分在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE＝90o，ABCDEOF10∴∠BAE＝∠FEC；……………………………………………3分（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，∴AG＝GB＝BE＝EC，且∠AGE=180o－45o＝135o．又∵CF是∠DCH的平分线，∠ECF＝90o+45o＝135o．………………………………………4分在△AGE和△ECF中，FECGAEECFAGEECAGo,135,∴△AGE≌△ECF；…………………………………………6分（3）解：由△AGE≌△ECF，得AE＝EF．又∵∠AEF＝90o，∴△AEF是等腰直角三角形．………………………………7分由AB＝a，BE＝21a，知AE＝25a，∴S△AEF＝85a2．…………………………………………………9分例2、(1)证明：∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，且AE=BD又∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD∴AE∥CD，且AE=CD∴四边形ADCE是平行四边形∴AD=CE(2)证明：∵∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，∴AD=BD=CD又∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是菱形★变式练习2-1、证明：连EO,ABCD为平行四边形，则AO=CO,BO=DO∠BED=∠AEC=90°,则根据RT三角形的中线定理得：EO=A0=C0,EO=BO=DOABCDEO11则AO=CO=BO=DO，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°(RT三角形的中线定理的反应用）∴ABCD为矩形★变式练2-2、证明：如图，连结AC、BD．∵PQ为△ABC的中位线，∴PQ21AC．1分同理MN21AC．∴MNPQ，2分∴四边形PQMN为平行四边形．3分在△AEC和△DEB中，AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB，即∠AEC＝∠DEB．∴△AEC≌△DEB．5分∴AC＝BD．∴PQ＝21AC＝21BD＝PN6分∴□PQMN为菱