基于主成分分析和霍特林T_2控制图的损伤识别

2010InternationalConferenceonCircuitandSignalProcessing978-1-4244-6782-2/10/$26.00©2010IEEEStructuralDamageDetectionbasedonPrincipalComponentAnalysisandHotellingT2ControlChartRong-rongJin1,andBinXu1,21)SchoolofCivilEngineering,HunanUniversity,Changsha410082,Hunan,China([e-mail])2)MinistryofEducationKeyLaboratoryofBuildingSafetyandEnergyEfficiency(HunanUniversity),Changsha410082,China([e-mail])Abstract—Astructuraldamagedetectionapproachwithmultivariatestatisticalprincipalcomponentanalysis(PCA)andHotellingT2controlchartonmodeshapesisproposedandvalidatedwithnumericalsimulationona4-storyframestructure.Themodalshapesoftheframestructureinhealthyanddamagedstatusaredeterminedbyfiniteelementanalysis.ThePCAonthefirsttwomodalshapesiscarriedoutandresultsshowthefirstthree-orderprincipalcomponents(PC)representthemainfeatureofthemodalshapes,andthreescoreplotsareobtainedbyprojectingthePCscoretothreecoordinateplanes.TheresultsshowthePCscoresofdamageelementnodesdeviatefromtheminhealthystatusobviously.Then,theHotellingT2statisticsanalysisiscarriedout.TheT2statisticsofdamagedelementnodesaregreaterthantheminhealthystatus,andexceedtheuppercontrollimits(UCL)ofT2controlchartwithcertainconfidencelevel.StructuredamagecanbeidentifiedbyseparatingthedataintheT2controlcharts.Theperformanceoftheproposedapproachfordamageidentificationoftheframestructureswithdifferentsingle-damageandmulti-damagescenariosarestudied.Resultsshowthattheproposedmethodisrobustandeffective.Keywords—damageidentification,modalshape,principalcomponentanalysis,scorechart,T2controlchart,uppercontrollimits基于主成分分析和霍特林T2控制图的损伤识别金荣荣1许斌1,21)湖南大学土木工程学院，长沙410082，湖南，中国2)建筑安全与节能教育部重点实验室(湖南大学)，长沙410082，湖南中国摘要本文提出了基于结构振型，利用多元统计中的主成分分析法和HotellingT2控制图来识别结构损伤的方法。通过对一4层框架结构在健康以及损伤状况下的有限元分析得到其振型数据并对其前两阶振型数据进行主成分分析，由于其前3阶主成分代表振型的主要特征，将其主成分得分向3个坐标平面投影，得到振型数据的3个主成分得分图。结果表明损伤单元对应的损伤节点的主成份得分明显偏离健康群点。进而，利用主成分构建T2统计量并绘出T2控制图，结果表明损伤点的T2统计量大于健康群点，并超出T2控制图在一定置信度水平下的控制上限，从而对损伤单元进行有效识别。通过在框架结构中设置不同位置，不同程度的单损伤、多损伤工况，对本文方法识别损伤位置以及程度的有效性进行了验证。关键词损伤识别，振型数据，主成分分析，主成份得分图，T2控制图，控制上限1．引言土木工程结构作为对国计民生有重大影响的基础设施，在国民经济发展中起着重要作用，在其使用期内由于外界环境影响及荷载长期作用，从服役开始就面临着损伤积累的问题。近年来，基于结构的动力响应监测数据，对结构是否存在损伤，损伤的位置和程度进行识别，进而对结构的性能和剩余使用寿命进行预测，成为土木工程领域的重要问题之一。结构损伤识别方法总体上可分两类：静力识别法和动力识别法。由于静力识别方法需要通过对结构施加较大的静力荷载，影响结构的正常使用，在实际结构健康监测系统中的使用越来越少。而基于结构动力响应的结构参数和损伤识别法的应用日益广泛。基于结构动力响应的结构损伤识别的基本思想是基于结构的动力响应测量时程，抽取结构的振动特征，如固有频率、模态振型或者模态曲率、柔度矩阵等，通过求解优化问题来对结构损伤进行识别。在过去的20多年里基于结构的动力响应测量的结构识别研究取得了长足进展[1-3]。教育部科学技术研究重点项目(No108102)；湖南省自然科学基金杰出青年基金项目(08JJ1009)；教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-08-0178)资助。257本文利用结构的振型数据，采用多元统计法中主成分分析法(PrincipalComponentAnalysis，PCA)和HotellingT2控制图对结构损伤进行识别。文献[4]利用PCA处理结构频响函数（FrequencyResponseFunction，FRF）数据点，对FRF数据点进行降维，比较不同状态下主成分(PrincipalComponent，PC)矩阵的欧氏距离，从而识别损伤；文献[5]利用PCA处理结构FRF数据点得到，通过数据重构得到的主成分构建新的损伤识别指标，比较不同状态下的指标来识别损伤；文献[6]利用PCA结合人工神经网络识别结构的固有周期，利用PCA压缩神经网络的输入，可以很准确的识别结构的固有周期；文献[7]采用PCA压缩结构振动响应数据，将较小的主成份作为噪音影响丢弃，直接选取前几阶主元对结构进行损伤识别；文献[8]采用PCA压缩处理数据，考虑前几阶主成分是环境因素影响测试结果，后几阶较小主成分是噪音影响而直接丢弃；一些学者[9,10]利用PCA方法对空间网架结构和铁轨的振动信号数据进行压缩、提取和处理，获取主要的数据信息特征并对振动数据进行重构，将重构后的振动数据作为神经网络的输入，从而达到损伤识别的目的。通用的PCA方法是提取前几阶主成份对多维数据进行压缩提取，此时PCA的功能可以用其他数据压缩方法来替代，甚至简单地通过耗费更多的计算资源而实现。本文对通用的主PCA方法进行了调整，使其主成分分析部分用于凸现数据特征，而非传统的降维压缩。此外，本文构造了HotellingT2统计量，并根据T2统计量建立T2控制图并确定一定置信度的控制上限（UpperControlLimit，UCL），用T2控制图分离异常数据，从统计量的角度来解释损伤特性，从而确定损伤点的变异，进而识别结构的损伤。本文基于数值计算，在不同噪声水平下实现了一4层框架模型的单、多损伤的不同位置、不同程度的辨识，并考虑了该方法对噪声的鲁棒性。2基础理论2.1主成分分析法主成分分析法[15]是统计分析的方法，通过构造一组新的变量来映射原始数据空间，从新的数据空间提取的统计特征来表征原始数据空间特性。通过数据空间的投影变换，消除变量间的关联性，简化了原始数据特性分析的复杂程度。PCA从可观测的显式变量中提取信息，组成不可直接观测的隐含变量。其主要原则是通过使方差昀大，尽可能多地保留原变量所包含的信息，同时又用尽可能少的替代原有变量，从而使问题变得简单。PCA方法主要是基于正交变换的思想，保留有显著贡献的特征向量，每一个特征向量和一个方差对应，而这个方差又由对应的特征值表示。任取一个特征向量，若它对应的特征值在整个数据集上代表着一个显著的方差值，则称其为这个数据集的一个主成分。PC从代数学观点看PCA就是P个变量的线性组合，从几何上看这些线性组合正是把构成的坐标系旋转产生的新坐标系，使新坐标系通过样本方差昀大的方向。p21XXX，p21XXX，2.2求主成分的方法步骤2.2.1对样本数据的标准化如果结构实测或计算获得的观测值矩阵为X⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nmnin2n1jmjij21jm2i22221m1i11211............xxxxxxxxxxxxxxxxX############(1)其中,n为样本长度（观测点数）,m为样本维度（观测变量数）。在实际应用中，往往存在指标的量纲不同，所以计算前须先消除量纲的影响，将原始数据标准化。对数据矩阵X作标准化处理，即对每个指标分量作标准化变换：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==−=njmiSXXYiiijij，，,21,21(2)∑==mkikiXmX11(3)()∑=−−=mkiikiXXm1211S(4)得标准化后的数据矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nmn2n12m22211m1211YYYYYYYYYY###(5)2.2.2计算相关矩阵对于给定的n个样本，求样本间的相关系数，相关矩阵中的每一个元素相应的相关系数所表示。(6)⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==mmm2m1m22221m11211'rrrrrrrrrYYR###其中kjnkkiijYYnr∑=−=111(7)2.2.3求特征值和特征向量相关矩阵为R，求特征方程：0=−IRλ(8)其解为特征根iλ将由小到大进行排序：258（1）实际上是对应于(iniiUUU,,21)iλ的特征向量。若原始变量服从正态分布，则各主成分之间相互独立；（2）全部m个主成分所反映的m例样本的总信息，等于原变量的总信息。信息量的多少，用变量的方差来度量。（3）各主成分作用大小是：m21ZZZ≥≥≥(9)（4）第i个主成分贡献率：%100m1jji×∑=λλ(10)（5）前p个主成分累计贡献率：%100m1jjp1ii×∑∑==λλ(11)实际在应用时，一般取累计贡献率为80%以上2.2.4求主成分（取线性组合）根据求的p个特征向量，可求得p个主成分分别为：mm2211mm22221212mm12121111YUYUYUFYUYUYUFYUYUYUFpppp++=++=++=(12)对于本文中的结构损伤辨识，计算得到的响应数据构成不同于多元统计中的变量构成，分析目的在于凸现变异数据特征，非对各主元进行评价从而实现压缩。2.3T2控制图HotellingT2统计量是每一个观测量与数据样本中心的距离的统计度量，即Mahalanobis距离的统计量。文献[11]基于自回归系数的HotellingT2统计量建立T2控制图来识别结构损伤，HotellingT2统计量多用以检验多元变量的稳定性，如果一个观测量的主成分全部保持稳定，那么该观测量的T2统计量应保持在稳定的水平，T2统计量多用于进行异常情况的检测。当观测样本数较多时，T2统计量表现为一个2χ分布，所以临界值由2χ分布加以逼近。对j第组样本数据进行标准化后的第1至p阶主元为，若前p（pn）阶主元包含了原始数据的绝