导数及其应用――三年高考试题收集整理

1第3章导数及其应用2010年高考题1..（2010全国卷2理）（10）若曲线12yx在点12,aa处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a（A）64（B）32（C）16（D）8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】332211',22yxka，切线方程是13221()2yaaxa，令0x，1232ya，令0y，3xa，∴三角形的面积是121331822saa，解得64a.故选A.2.（2010辽宁文）（12）已知点P在曲线41xye上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是(A)[0,4)(B)[,)42（C）3(,]24(D)3[,)4答案D解析：选D.2441212xxxxxeyeeee，12,10xxeye，即1tan0，3[,)43.（2010辽宁理）(1O)已知点P在曲线y=41xe上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是(A)[0,4)(B)[,)423(,]24(D)3[,)4【答案】D【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。【解析】因为'2441(1)2xxxxeyeee，即tana≥-1,所以344.（2010全国卷2文）（7）若曲线2yxaxb在点(0,)b处的切线方程是10xy，则（A）1,1ab(B)1,1ab(C)1,1ab(D)1,1ab【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程∵02xyxaa，∴1a，(0,)b在切线10xy，∴1b25.（2010江西理）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为00StS，则导函数'ySt的图像大致为【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。6.（2010江苏卷）14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S梯形的周长）梯形的面积,则S的最小值是________。【解析】考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为x，则：222(3)4(3)(01)1133(1)(1)22xxSxxxx（方法一）利用导数求函数最小值。224(3)()13xSxx，22224(26)(1)(3)(2)()(1)3xxxxSxx2222224(26)(1)(3)(2)42(31)(3)(1)(1)33xxxxxxxx1()0,01,3Sxxx，当1(0,]3x时，()0,Sx递减；当1[,1)3x时，()0,Sx递增；故当13x时，S的最小值是3233。（方法二）利用函数的方法求最小值。令1113,(2,3),(,)32xttt，则：2224418668331tStttt故当131,83xt时，S的最小值是3233。7.（2010湖南文）21．（本小题满分13分）3已知函数()(1)ln15,afxxaxax其中a0,且a≠-1200208.（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）设函数332(23646),1(),1(){xxaxaxaaexefxxgx（e是自然数的底数）。是否存在a，使()gx在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。48.（2010浙江理）(22)(本题满分14分)已知a是给定的实常数，设函数22()()()fxxaxbe，bR，xa是()fx的一个极大值点．(Ⅰ)求b的取值范围；(Ⅱ)设123,,xxx是()fx的3个极值点，问是否存在实数b，可找到4xR，使得1234,,,xxxx的某种排列1234,,,iiiixxxx(其中1234,,,iiii=1,2,3,4)依次成等差数列?若存在，求所有的b及相应的4x；若不存在，说明理由．解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。（Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a)2(3)2,xabxbaba令222()(3)2,=(3-a+b)4(2)(1)80,gxxabxbabababaab则于是，假设1212,()0.xxgxxx是的两个实根，且（1）当x1=a或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。（2）当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1ax2.即()0gx即2(3)20aabababa所以b＜-a所以b的取值范围是（-∞，-a）此时4223xxaab2(1)826abaa或4223xxaab2(1)826abaa5（2）当21xaax时，则212()xaax或12()2()axxa于是1ab9132此时42(3)3(3)1133242axaababxba综上所述，存在b满足题意，当b=-a-3时，426xa7132ba时，41132xa7132ba时，41132xa9.（2010全国卷2理）（22）（本小题满分12分）设函数1xfxe．（Ⅰ）证明：当x＞-1时，1xfxx；（Ⅱ）设当0x时，1xfxax，求a的取值范围．6【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【参考答案】7【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.10.（2010陕西文）21、(本小题满分14分)已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，aR。（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（2）设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；（3）对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时，（a）1.解（1）f’(x)=12x,g’(x)=ax(x0),由已知得x=alnx，12x=ax，解德a=2e,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e）切线的斜率为k=f’(e2)=12e,切线的方程为y-e=12e(x-e2).（2）由条件知Ⅰ当a.0时，令h'(x)=0,解得x=24a,所以当0x24a时h'(x)0，h(x)在（0，24a）上递减；当x24a时，h'(x)0，h(x)在（0，24a）上递增。8所以x24a是h(x)在（0，+∞）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以Φ（a）=h(24a)=2a-aln24a=2Ⅱ当a≤0时，h(x)=(1/2-2a)/2x0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。故h(x)的最小值Φ（a）的解析式为2a(1-ln2a)(ao)（3）由（2）知Φ（a）=2a(1-ln2a)则Φ1（a）=-2ln2a，令Φ1（a）=0解得a=1/2当0a1/2时，Φ1（a）0，所以Φ（a）在(0,1/2)上递增当a1/2时，Φ1（a）0，所以Φ（a）在(1/2,+∞)上递减。所以Φ（a）在(0,+∞)处取得极大值Φ（1/2）=1因为Φ（a）在(0,+∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值所当a属于(0,+∞)时，总有Φ（a）≤111.（2010辽宁文）（21）（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln1fxaxax.（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）设2a，证明：对任意12,(0,)xx，1212|()()|4||fxfxxx.解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+)，2121()2aaxafxaxxx.当a≥0时，()fx＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，()fx＜0,故f(x)在(0,+)单调减少；当－1＜a＜0时，令()fx＝0,解得x=12aa.当x∈(0,12aa)时,()fx＞0；x∈(12aa，+)时，()fx＜0,故f(x)在（0,12aa）单调增加，在（12aa，+）单调减少.(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以1212()()4fxfxxx等价于12()()fxfx≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则1()2agxaxx+4＝2241axxax.9于是()gx≤2441xxx＝2(21)xx≤0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1,x2∈(0,+)，1212()()4fxfxxx.12.（2010辽宁理）（21）（本小题满分12分）已知函数1ln)1()(2axxaxf（I）讨论函数)(xf的单调性；（II）设1a.如果对任意),0(,21xx，||4)()(|2121xxxfxf，求a的取值范围。解：（Ⅰ）()fx的定义域为（0，+∞）.2121'()2aaxafxaxxx.当0a时，'()fx＞0，故()fx在（0，+∞）单调增加；当1a时，'()fx＜0，故()fx在（0，+∞）单调减少；当-1＜a＜0时，令'()fx=0，解得12axa.则当1(0,)2axa时，'()fx＞0；1(,)2axa时，'()fx＜0.故()fx在1(0,)2aa单调增加，在1(,)2aa单调减少.（Ⅱ）不妨假设12xx，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而12,(0,)xx，1212()()4fxfxxx等价于12,(0,)xx，2211()4()4fxxfxx①令()()4gxfxx，则1'()24agxaxx①等价于()gx在（0，+∞）单调减少，即1240aaxx.从而22222241(21)42(21)2212121xxxxaxxx10故a的取值范围为（-∞，-2].……12分13.（2010全国卷2文）（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1。（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。（2）求出函数的导数()fx，在（2，3