导数及其应用复习小结 2

第三章导数及其应用复习小结导数导数概念导数运算导数应用函数的平均变化率函数的瞬时变化率导数的几何意义基本初等函数求导导数的四则运算法则导数与函数的单调性导数与函数的极值导数与函数的最值最优化问题本章知识结构（一）导数的概念：1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f’(x0)，或y|；0000()()limlimxxfxxfxyxx0xx2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f’(x0)，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数．简称导数．记作f’(x)或y’.即f’(x)=y’=0()()limxfxxfxx3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f/(x0)．所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为yy0=f/(x0)·(x－x0)．()()()sin()cos()()()log(01)()lnxxafxCfxxfxxfxxfxafxefxxaafxx且函数导函数()()()sin()cos()()()log()lnnxxafxcfxxfxxfxxfxafxefxxfxx1'()0'()'()cosnfxfxnxfxx'()sin'()ln(0)'()xxfxxfxaaafxe1'()(0,1)ln1'();fxaaxafxx且导数的运算法则:法则1:()()()()fxgxfxgx法则2:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx法则2推论:()'()()()CfxCfxCfxCfxab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减注意：单调区间不能“并”，中间用“，”隔开。如果恒有，则是常函数。()fx'()0fx①求定义域②求'()fx③令'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间④作出结论2.求函数单调区间的步骤1.函数的单调性与导数的正负关系左增右减为极大左减右增为极小求可导函数极值的方法：（1）确定函数的定义域，并求导函数()fx（2）求方程的根()0fx(3)列出当x变化时，的变化情况表(),()fxfx（4）作出结论(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；注意:1.在定义域内,最值唯一,极值不唯一2.最大值一定比最小值大.变式1：求过点A的切线方程？例1．已经曲线C：y=x3-x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2），∴切线方程为y－(x03－x0+2)=(3x02－1)(x－x0)21又∵切线过点A(1,2)∴2－(x03－x0+2)=(3x02－1)(1－x0)化简得(x0－1)2(2x0+1)=0，2114①当x0=1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x解得x0=1或x0=－k=f/(x0)=3x02－1，②当x0=－时，所求的切线方程为：y－2=－(x－1),即x+4y－9=0变式1：求过点A的切线方程？例1：已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？变式2：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直线y=11x－1，则P点坐标为____________,切线方程为_____________________．(2,8)或(－2,－4)y=11x－14或y=11x+18例2求曲线3232fxxxx过原点的切线方程.解:2362fxxx.设切线斜率为k,(1)当切点是原点时,02kf,所以所求曲线的切线方程为2yx.(2)当切点不是原点时,设切点是00,xy,则有32000032yxxx,即2000032ykxxx,又2000362kfxxx,故得00031,24yxkx,所求曲线的切线方程为14yx.函数导数方程不等式中等问题复习选讲小评:“过某点”与“在某点处”的不同.故审题应细.又如:曲线231yx在点1,0处的切线问题.1x处的导数不存在,说明该曲线在点1,0处的切线的斜率趋于无穷大,倾斜角为2,所以曲线231yx在点1,0处的切线方程为1x.（1）正确理解导数的概念和意义，导数是一个函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它反映的是函数的变化率，即函数值在x=x0点附近的变化快慢；所以只有与变化率有关的问题都可以用导数来解决；（2）掌握求导数的方法，特别是在求复合函数的导数时，一定要把握层次，把每一层的复合关系都看清楚；（3）利用导数来研究函数。主要是研究函数的增减性、函数的极大（小）值、函数的最大（小）值以及一些与实际相关的问题。三．小结:.)()2(.20)()1(ln)(ln)(2的值域求区间和极值）上单调，在（求，：已知函数例题xgxfxxxgxxxf题型二：利用导数求单调区间极值、值域强调：定义域1)(2,11,0)(极小值）在（）在（答案：xfxf并作函数大致的图象值域为：)1,(e(1)(2)(3)求下列函数的单调区间：练习.函数的单调性;2xxy;92xxy.xxy分析：运用函数与方程的思想，可将不等式21ln12xxx的证明转化为证明函数21ln12fxxxx在0,上为增函数，而增函数的证明又可转化0fx为证明题型三：利用导数证明不等式221)1ln(04xxxx时，证明：当例题x1)ln(x)1ln()(4求证：，已知函数变式练习：例题xxxf题型三：利用导数证明不等式的取值范围。成立，求实数使得不等式若存在：已知函数例题aaxfxxxxxf)(],,0(sin)(6题型四：恒成立问题,]41)(5的取值范围。求实数内是增函数，（在已知函数：例题axaxxf2a答案：1a答案：★★★★★★例7.求抛物线y=x2与直线y=2x所围成平面图形的面积。o2x4y题型五：定积分应用8.汽车以0v=36km/h的速度行驶，到达某处时需要减速刹车，设汽车以等减速度a=5m/2s刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少m?本章知识结构微积分导数定积分导数概念导数运算导数应用函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线斜率基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数单调性研究函数的极值、最值曲线的切线变速运动的速度面积功积分定义的含义微积分基本定理的含义微积分基本定理的应用路程定积分概念微积分基本定理最优化问题积分运算法则2x)(xfy0xy1x)(xfy二、解题的基本模型：三次函数图像和性质二、知识要点：1、常见的导数公式：2、导数的四则运算法则：3、复合函数的求导法则：记牢是前提！熟练应用是基础！合理分拆是关键！4、积分运算：关键是找原函数！3、复合函数的求导法则：'''xuxuyy合理分拆是关键！()d()()()bbaafxxFxFbFa4、积分运算：关键是找原函数！C.1).(2nxoxsinxcos).(sin3x1nnx).(cos4x).(5xa,lnaax)(xexe).(log6xa,log1exa)(lnx,1x)(nax1nanx基本初等函数的导数公式2、导数的四则运算法则：])()()[1(xgxf)()(xgxf])()()[2(xgxf)()()()(xgxfxgxf])()()[3(xgxf)()()()()(2xgxgxfxgxf熟练应用是基础！的范围。求实数）上是增函数，，在（：已知函数例题mmxmxxxf0)12(ln21)(12题型一：利用导数求参数的取值范围技巧：恒成立问题——分离变量求值域法21m答案：