导数及其应用高考题精选(含答案)

导数及其应用高考题精选1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2xyx在点1,1处的切线方程为（）（A）21yx（B）21yx（C）23yx（D）22yx【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.【规范解答】选A.因为22(2)yx，所以，在点1,1处的切线斜率1222(12)xky，所以，切线方程为12(1)yx，即21yx，故选A.2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为31812343yxx，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）(A)13万件(B)11万件(C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】选C，2'81yx,令0y得9x或9x（舍去），当9x时'0y；当9x时'0y，故当9x时函数有极大值，也是最大值，故选C.3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2x,y=3x围成的封闭图形面积为（）（A）112(B)14(C)13(D)712【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】先求出曲线y=2x,y=3x的交点坐标，再利用定积分求面积.【规范解答】选A,由题意得:曲线y=2x,y=3x的交点坐标为(0,0)，(1,1)，故所求封闭图形的面积为1230x-x)dx=（1111-1=3412,故选A.4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y=41xe上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）(A)[0,4)(B)[,)423(,]24(D)3[,)4【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。【规范解答】选D.224,14444'11(1)()21122210'0,1'01tan0,30D4xxxxxxxxxxxxyeeeyeeeeeeeexeyy当且仅当＝，即时“＝”成立。又。设倾斜角为，则又，，。故选5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）421dxx等于（）A、2ln2B、2ln2C、ln2D、ln2【命题立意】考查积分的概念和基本运算.【思路点拨】记住x1的原函数.【规范解答】选D.421dxx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,kN其中，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由0y，即可求得切线与x轴交点的横坐标。【规范解答】由y=x2(x0)得，2yx，所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：22(),kkkyaaxa当0y时，解得2kax，所以1135,1641212kkaaaaa.【答案】217.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S梯形的周长）梯形的面积,则S的最小值是________。【命题立意】本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x，然后用x分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示，利用函数的观点解决.【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x，则：222(3)4(3)(01)1133(1)(1)22xxSxxxx方法一：利用导数的方法求最小值。224(3)()13xSxx，22224(26)(1)(3)(2)()(1)3xxxxSxx2222224(26)(1)(3)(2)42(31)(3)(1)(1)33xxxxxxxx1()0,01,3Sxxx，当1(0,]3x时，()0,Sx递减；当1[,1)3x时，()0,Sx递增；故当13x时，S的最小值是3233。方法二：利用函数的方法求最小值令1113,(2,3),(,)32xttt，则：2224418668331tStttt故当131,83xt时，S的最小值是3233。【答案】3233【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。8.（2010·陕西高考理科·Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为；【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可【规范解答】阴影部分的面积为11230031.Sxdxx阴影所以点M取自阴影部分的概率为11313SPS阴影长方形答案：139．（2010·海南高考·理科T13）设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分10()fxdx,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数1x,2x…,Nx和1y,2y…,Ny,由此得到N个点(,)iixy（i=1,2,…,N）,在数出其中满足1y≤1()fx（（i=1,2,…,N））的点数1N，那么由随机模拟方法可得积分10()fxdx的近似值为.【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.【规范解答】由题意可知，,xy所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足iy≤()ifx的点(,)iixy落在y=f(x)、0y以及1x、0x围成的区域内，由几何概型的计算公式可知10()fxdx的近似值为1NN.答案：1NN10.（2010·北京高考理科·Ｔ１8）已知函数f(x)=In(1+x)-x+22kx，(k≥0)。(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。【思路点拨】（1）求出'(1)f，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由k讨论'()fx的正负，从而确定单调区间。【规范解答】（I）当2k时，2()ln(1)fxxxx，1'()121fxxx由于(1)ln2f，3'(1)2f，所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为3ln2(1)2yx即322ln230xy（II）1(1)'()111xkxkfxkxxx，(1,)x.当0k时，'()1xfxx.所以，在区间(1,0)上，'()0fx；在区间(0,)上，'()0fx.故()fx的单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0,).当01k时，由1()'()01kkxxkfxx，得10x，210kxk所以，在区间(1,0)和1(,)kk上，'()0fx；在区间1(0,)kk上，'()0fx故()fx的单调递增区间是(1,0)和1(,)kk，单调递减区间是1(0,)kk.当1k时，2'()1xfxx故()fx的单调递增区间是(1,).当1k时，1()'()01kkxxkfxx，得11(1,0)kxk，20x.所以在区间1(1,)kk和(0,)上，'()0fx；在区间1(,0)kk上，'()0fx故()fx得单调递增区间是1(1,)kk和(0,)，单调递减区间是1(,0)kk【方法技巧】（1）()yfx过00(,())xfx的切线方程为000()'()()yfxfxxx。（2）求单调区间时要在定义域内讨论'()fx内的正负。11.（2010·安徽高考文科·Ｔ20）设函数sincos1fxxxx，02x，求函数fx的单调区间与极值。【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。【思路点拨】对函数()fx求导，分析导数()fx的符号情况，从而确定()fx的单调区间和极值。【规范解答】()12()4xx解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0x2,知fsin23()0()422()xxxxxx令f，从面sin，得，或，当变化时，f，f(x)变化情况如下表：x0,3,2323,22()fx+0-0+()fx极大值极小值33222因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,)与(，),单调递区间是(，减)33222极小值为f()=，极大值为f()=【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法，简单易行，具体操作流程如下：（1）求导数'()fx；（2）求方程'()0fx的全部实根；（3）列表，检查'()fx在方程'()0fx的根左、右的值的符号；（4）判断单调区间和极值。12.（2010·北京高考文科·Ｔ１8）设定函数32()(0)3afxxbxcxda，(0)a，且方程'()90fxx的两个根分别为1，4。（Ⅰ）当a=3且曲线()yfx过原点时，求()fx的解析式；（Ⅱ）若()fx在(,)无极值点，求a的取值范围。【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识。【思路点拨】(1)由'()90fxx的两个根及()yfx过原点，列出三个方程可解出,,bcd；（2）'()fx是开口向上的二次函数，()fx无极值点，则'()0fx恒成立。【规范解答】由32()3afxxbxcxd得2()2fxaxbxc因为2()9290fxxaxbxcx的两个根分别为1,4，所以290168360abcabc（*）（Ⅰ）当3a时，（*）式为2608120bcbc解得3,12bc又因为曲线()yfx过原点，所以0d故32()312fxxxx（Ⅱ）由于a0,所以“32()3afxxbxcxd在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“2()20fxaxbxc在（-∞，+∞）内恒成立”。由（*）式得295,4baca。又2(2)49(1)(9)bacaa解09(1)(9)0aaa得1,9a即a的取值范围1,9【方法技巧】（1）当'()fx在0x的左侧为正，右侧为负时，0x为极大值点；当'()fx在0x的左侧为负，右侧为正时，0x为极小值点（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。2yaxbxc恒大于0，则00a；2yaxbxc恒