圆锥曲线综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义-(1)

编者：孙斌策划编辑：孙斌封面设计：孙斌-1-前言编者编写本书的初衷是以学生为中心，实用性优先，没有花里胡哨的冗杂结论。本书筛选了2010-2018年的各地高考圆锥曲线大题并适当归类讲解，删去了思维跨度大，计算量极高的题，总计一百余题。考虑到高中生学习繁忙，编者尽可能的将本书压缩到了一百余页，并结合丰富的举例，偏向于去教学生怎么思考，往哪个方向思考，怎么去分析思路，并予以启发。不建议基础知识不牢且计算功底弱的学生看这本书，否则效果适得其反。如果连一些基本算理都搞不清的话，则是开卷无益。本书前半部分的讲解足以解决后半部分的习题，所以后半部分则以题目为主，部分内容借鉴了网上公开的免费视频与免费文档，对其分享的思路表示非常感谢！另外，编者对于圆锥曲线的第二第三定义及其衍生的结论并没有去细致讲解，请同学们依据课本自行完善。由于本书是编者一人收集整理完成，如有疏漏与错误，还请包涵与指正。-2-目录第一章题目信息转化为坐标表达/41.1距离公式与弦长公式/51.2题目核心条件转化为坐标/101.3转化为坐标后，怎么处理/16第二章获得点的坐标解决问题/232.1通过表示点的坐标解决问题/242.2怎么获取点的坐标/262.3设点与设直线结合起来/37第三章定点定值/413.1什么样的直线过定点/423.2怎么解决直线过定点/433.3圆过定点与定值举例/48第四章优化计算/504.1反设直线/514.2简化运算的技巧/53第五章面积与最值/565.1三角形的面积表达/575.2求最值之变量化一/635.3求最值之均值不等式/645.4求最值之借助导数/68第六章切线/70-3-第七章轨迹方程/77第八章借助几何分析解决问题/82第九章探索类问题/98第十章对称问题/104第十一章弦中点与点差法/109-4-第一章题目信息转化为坐标表达总思路：题目中核心信息可使用韦达定理的形式坐标表达式联立直线与曲线例：过定点求证且交于与直线抛物线AB,,,,42OBOABAlxy).,(),,(,2211yxByxAmkxyAB为：设直线OBOA044212221yyyy02121yyxx1621yy044422mykyxymkxy联立)0,4()4(4416421直线过代入到直线方程xkkkxykmkmyy首先说一说为什么有些题要使用韦达定理解决：0)(2)(1222222222222bmaxkmaxkabmkxybyax联立得拿椭圆来说：-5-22222221222221)(,2kabbmaxxkabkmaxx而韦达定理可以观察到：第一，可以看出韦达定理右侧的式子跟椭圆与直线中的mkba,,,22这些参数有关。而我们题目中往往会要求我们求这些参数或者参数的范围。第二，题目中核心条件往往可以转化为与2121,,,yyxx有关的坐标形式。总之，韦达定理是一个桥梁，它连接了题干中的条件与方程中的参数。所以我们第一章的所有题的总思路，都是先把题目信息坐标化，然后联立直线与曲线，最后使用韦达定理。1.1距离公式与弦长公式一，距离公式假设),(),,(BBAAyxByxA，则BA,之间的距离：BAABBAABBABAyykxxkyyxxAB2222111)()(，1.距离公式源于两点间距离公式，任何时候都能用，不是非得与曲线联立才能用，只要找横（纵）坐标和斜率共计三个量即可表示距离。2.如果A与B是曲线上的两个点，那么上述式子称之为弦长公式。3.弦长公式是万用的，只要是直线与曲线有两个交点A,B.都可以用上述式子计算弦长。我们看下面两个例子：,,,21522两点与该椭圆相交于的直线且过点，斜率为的右焦点为例：椭圆BAlFFyxFBFA求息坐标化：解析：第一步：题目信),F(yxByx02),,(),,(A2211因为设-6-2211122xxxkFAFAFA所以2211222xxxkFBFBFB所以4)(25225212121xxxxxxFBFA得与椭圆第二步：联立所得直线152222yxxy.2140,75211501540-2121212xxxxxx其中第三步：使用韦达定理4)(222121xxxxFBFA学会使用方法，答案略。的距离公式？使用关于的距离公式，我们能否于思考：解答使用的是关yxBFBABAFAAByyykFByyykFA211,21122答：2122yyyyFBFABA所以.0.,.,0:化，使得距离公式大幅简坐标为可以留心有没有纵这给我们的经验就是：保留去联立时只需要消得非常简洁距离公式的话，结果变的使用关于点的纵坐标是由于这里我们观察到yxyF的垂两点，与椭圆交于的直线过右焦点江苏】知椭圆【ABBAlyx,F,12201522kABPCP,CABx，求已知于点和直平分线交2,2),1(),2,2(),,(),,(A21212211xkyAByyxxCAByxByx为设直线的中点为思路：设kkABPCPC1，所以因为22)1(122)1(112122122xxkxxkxxkPCCPPC-7-2122122111xxkxxkxxkABBA程了使用韦达定理代换的过与接下来的任务就是联立),1(1222xkyyx1k答案：对距离公式的理解：不需要求解P点的纵坐标来算距离，只需要两个横坐标以及斜率即可。二.抛物线中的弦长公式两点，的直线与抛物线交于过焦点①已知抛物线BAFppxy,),0(22，那么设),(),,(2211yxByxA2221pxBFpxAFpxxBFAFAB21两点，的直线与抛物线交于过焦点②已知抛物线BAFppyx,),0(22，那么设),(),,(2211yxByxApyyAB21同理：注意：1.如果直线过焦点F，则不必使用弦长公式，而是使用更快捷的焦半径公式。2.不要盲目使用，直线不过焦点的话，我们还是得乖乖的使用万能的弦长公式。ABBAxylM，求其中直线的斜率为两点交于与抛物线作直线例：过1,,4)0,2(2ABBAxylM求其中直线的斜率为两点交于与抛物线作直线例：过点,1,,4)0,1(2.,)0,1(4:2两点交于的直线与曲线，已知过点例：已知曲线BACxyC.111BFAF求证：-8-)0(1:4:20152222221babxayCFyxC也是椭圆的焦点湖南文】已知抛物线【2121,,62CBAClFCC两点，与相交于与的直线过点的公共弦长为与的一个焦点，.,同向与两点，且相交于BDACDC;)1(2的方程求C.,)2(的斜率求直线若lBDAC).(等量加等量，和相等帮忙，即提示：代数不行几何来CDABBDAC462189)1(22kxy）；（答案：建议记住的内容(你会发现节约大量运算时间的)：两点交于与直线设椭圆BAmkxybyax,12222二次项系数二次项系数则)(41)(4122222222222222mbakkabmkabbakAB.2的系数与椭圆联立后二次项系数指的是直线x三.圆的弦长公式。理与勾股定理来求解：圆的弦长可借助垂径定-9-.,,ECDABOABABOERO交于点与直径的弦，为圆其中的半径为如图，圆222,dRABdOE则.的距离公式时，需要使用点到直线计算dBAayxCyax,4)()1(02)2014(22相交于的圆与圆心为已知直线重庆______aABC为等边三角形，则实数两点，且△所以圆心到直线的所以等边，且圆的半径为思路：结合图像：△.2.2ABABC.3距离为12202),1(2aadyaxa的距离到直线又圆心15431222aaa，解得所以两点，，交于与直线焦点为陕西文】椭圆【BAmxylFFyx21:),(13420142122.,435,21的方程求直线两点，且满足为直径的圆交于与以lCDABDCFF-10-满足点的左右焦点分别为天津文】椭圆【),(.,)0(12011212222baPFFbabyax212FFPF;)1(求椭圆的离心率相交与圆两点，若直线与椭圆相交于设直线16)3()1(,)2(2222yxPFBAPF.,85,求椭圆的方程两点，且于ABMNNM1.2题目核心条件怎么转化为坐标圆锥曲线题目中的条件往往与坐标无关，那么具体如何转化为坐标表达，下面举出常见的案例（缺失部分自己请同学们自行查阅回顾）：的坐标表达式关于将下列问题换为为原点与某曲线相交，设已知直线21212211,,,,),0,2(),,(),,(yyxxOMyxByxAAB怎么办？问：遇到OBOA.1答：002121yyxxOBOA又答：怎么办？问：遇到MBMA.2答：怎么办？问：遇到MBAM2.3答：4.问：遇到怎么办？,MBMA22222121)2()2(yxyx答：又答：三点共线，怎么办？问：MBA,,.5-11-222211xyxykkMBMA答：为锐角怎么办？问：遇到AMB.60MBMA答：共线，怎么办？与问：遇到MBOA.7答：BMAMABM2.8上，在直线问：答：01120112212ykyk（弦长公式）倍的面积的的面积等于2.9BOMAOM答：212yyBMOAMO.1002202211xyxykkBMAM答：MAB的中垂线过点.1122222121)2()2(yxyxBMAM答：.1000的方程等号成立代入直线，，则的中点为又答：取ABMkkMABMMAB为直径的圆上在以点ABM.120MBMA答：为直径的圆内在以点ABM.130MBMA答：顶点为临边的平行四边形的是以OBOAM,.14答：TBTAyxByxAT三点共线，则),(),,(),0,1(.1522`1`12`1yy答：-12-,cos,sin),,(),,(.1621212211xxAByyABAByxByxA，则的倾斜角为直线设ACACAIABABAIABCI的内心，则是△若.1718.的垂心，则为△若ABCH答：)3,3(),,(),,(),,(.19321321332211yyyxxxABCyxCyxByxA的重心坐标则△设ONOQOQOMONQOQMyQxNM正切值相等轴上在点轴上在点,,,.20处的切线方程在),(2.21112yxApxypxpxyy11答：处的切线方程在),(2.22112yxApyxpypyxx11或答：求导数写切线方程AMBBCMBACMA求相切于点与圆相切于点与圆,,.23也可尝试正切入手，半径答：,21MCsinAMBAMCAMCOAAMAMOAOMAOM中，△.24BAMABMBMAMABsin,.25则中，设△)(cos.26数量积与投影OBOBOAAOBOA可以看出：上述案例转化后的落脚点都是长度、垂直、平行、向量表示、三点共线、直线方程。这是因为我们的长度有距离公式的坐标表达，像垂直、平行、向量都可转化为相应的坐标表达。对于角度的处理，我们往往借助三角函数，可以把角度转化为长度表达.有时候还需要借助几何分析:如初中三角函数定义，-13-相似三角形，圆的相关几何定理，平行四边形的性质等。轴正半轴的交点，若是椭圆于两点，于交椭圆例：已知直线yBNMyxl,805422___________的方程为焦点，则直线的重心恰好为椭圆的右△lBMN交于与圆的直线且斜率为新课标文】已知过点【1)3()2(:)1,0(201522yxClkA.,两点NM的取值范围求k)1(MNOONOM为坐标原点