直线、平面垂直的判定及其性质经典例题

直线、平面垂直的判定及其性质经典例题经典例题透析类型一、直线和平面垂直的定义1．下列命题中正确的个数是()①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；②如果直线与平面内的一条直线垂直，则；③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直．A．0B．1C．2D．3答案：B解析：当内的无数条直线平行时，与不一定垂直，故①不对；当与内的一条直线垂直时，不能保证与垂直，故②不对；当与不垂直时，可能与内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．故选B．总结升华：注意直线和平面垂直定义中的关键词语．举一反三：【变式1】（2010山东）在空间，下列命题正确的是A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行答案：D解析：A项，平行直线的平行投影也可以是两条平行线；B项，平行于同一直线的两个平面可平行、可相交；C项，垂直于同一平面的两个平面可平行、可相交；D项，正确．总结升华：本题主要考察对基础知识的掌握．类型二、直线和直线、平面垂直的判定2．（2011广东理18）如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点．（1）证明：AD平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值．解析：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD．∵PA=PD，∴，在中，，∴为等边三角形，∴，∴AD⊥平面PBG，∴又PB//EF，得，又∵DE//GB，得AD⊥DE，又，∴AD⊥平面DEF．（2）为二面角P—AD—B的平面角，在，在中，总结升华：要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和这条直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.举一反三：【变式1】如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M．求证：平面CBD⊥平面BDM．证明：如下图，连接、、，则．∵，∴为等腰三角形．又知D为其底边的中点，∴．∵，，∴．又，∴．∵为直角三角形，D为的中点，∴，．又，，∴．．即CD⊥DM．∵、为平面BDM内两条相交直线，∴CD⊥平面BDM．又∵，∴平面CBD⊥平面BDM．总结升华：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.所以证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.类型三、直线和平面所成的角3．如图所示，已知∠BOC在平面内，OA是平面的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，BC=，求OA和平面所成的角．解析：∵，∠AOB=∠AOC=60°，∴△AOB、△AOC为正三角形，∴．∵，∴，∴△ABC为直角三角形．同理△BOC也为直角三角形．过A作AH垂直平面于H，连接OH，∵AO=AB=AC，∴OH=BH=CH，H为△BOC的外心．∴H在BC上，且H为BC的中点．∵Rt△AOH中，，∴，∴∠AOH=45°．即AO和平面所成角为45°．总结升华：(1)确定点在平面内的射影的位置，是解题的关键，因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解．(2)求斜线与平面所成的角的程序：①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求解；③把该角放入三角形计算．(3)直线和平面所成的角，也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况，也就是直线和平面成90°角和0°角的情况，所以求线面所成角时，应想到以上两种情况．举一反三：【变式1】（2011全国大纲19）如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)求与平面所成角的大小．解析：（I）取AB中点E，连结DE、SE，∴四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，∵侧面为等边三角形∴又∵SD=1，，∴为直角．又∵，∴AB⊥平面SDE，∴．又SD与两条相交直线AB、SE都垂直．∴SD⊥平面SAB．（II）作垂足为F，FG⊥BC，垂足为G，连结SG∵AB⊥平面SDE，∴平面ABCD⊥平面SED．∴SF⊥平面ABCD，∵∴，又∵FG⊥BC，∴BC⊥平面SFG，∵∴平面SBC⊥平面SFG．作，H为垂足，则FH⊥平面SBC．又∵在中，，在中，∴，即F到平面SBC的距离为．∵ED//BC，∴ED//平面SBC，∴E到平面SBC的距离d也是．设AB与平面SBC所成的角为α，则．∴与平面所成的角为．【变式2】如图所示，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是________．答案：解析：如下图．由题取AC中点O，连接BO．则BO⊥平面．故为与平面所成角．又在中，，．∴，∴．类型四、二面角4．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小．解析：取BC的中点E，连接AE、DE，∵AB=AC，∴AE⊥BC．又∵△ABD≌△ACD，AB=AC，∴DB=DC，∴DE⊥BC．∴∠AED为二面角的平面角．又∵△ABC≌△BDC，∴AD=BC=2，在Rt△DEB中，DB=，BE=1，∴，同理．在△AED中，∵，，∴，∴∠AED=90°．∴以面BCD和面ABC为面的二面角大小为90°．总结升华：确定二面角的平面角，常常用定义来确定．举一反三：【变式1】已知D、E分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且．求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小．解析：如图，在平面内延长DE和交于点F，则F是面与面的公共点，为这两个平面的交线，∴所求二面角就是的平面角．∵，且，∴E、分别DF和A1F的中点．∵，∴．又面，面，∴面，而面．∴．∴是二面角的平面角，由已知，∴．总结升华：当所求的二面角没有给出它的棱时，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角的大小即可．类型五、平面与平面垂直的判定5．在四面体ABCD中，，AB=AD=CB=CD=AC=，如图所示．求证：平面ABD⊥平面BCD．证明：∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，∴取BD的中点E，连接AE、CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角．在△ABD中，，，∴．同理．在△AEC中，，，由于，∴AE⊥CE，即∠AEC=90°，即二面角A-BD-C的平面角为90°．∴平面ABD⊥平面BCD．总结升华：利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是(1)找出两个相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个平面互相垂直．举一反三：【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD．证明：∵AB=BC，CD=AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF．总结升华：证面面垂直的方法：(1)证明两平面构成的二面角的平面角为90°；(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明“面面垂直”的问题转化为证明线面垂直的问题.【变式2】如图所示，在Rt△AOB中，，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．D是AB的中点．求证：平面COD⊥平面AOB；证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角．又∵二面角B-AO-C是直二面角．∴CO⊥BO．又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB．又CO平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．【变式3】过点P引三条长度相等但不共面的线段PA、PB、PC，有∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°，求证：平面ABC⊥平面BPC．证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E直角△BPC中，，，由AB=AC，AE⊥BC，直角△ABE中，，，，在△PEA中，，，∴，平面ABC⊥平面BPC．类型六、综合应用6．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．证明：(1)取EC的中点F，连接DF．∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，，∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MNCF．∵BDCF，∴MNBD．N平面BDM．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．总结升华：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，这里证明的关键是BN⊥平面ECA，应充分体会线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系．7．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．思路点拨：要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线．注意到M、N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可．证明如下．证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．由(1)知，需证AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．又∠PDA=45°，E为PD的中点．∴AE⊥PD，即MN⊥PD．又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD．总结升华：本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸多知识点的一道综合题．(1)的关键是选取PD的中点E，所作的辅助线使问题处理的方向明朗化．线线垂直→线面垂直→线线垂直是转化规律．