3.1.1 空间向量及其加减运算(理科)

中学生学习报数学周刊国家级优秀教辅读物ISO9001国际质量管理体系认证人教课标A版选修2-1LearningEnglish专业辅导，专业品质空间向量及其加减运算AB用字母等或者用有向线段的起点与终点字母表示．ABba、⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．几何表示法：用有向线段表示；字母表示法：相等的向量：长度相等且方向相同的向量．ABCD复习2.平面向量的加减法与数乘运算（1）向量的加法：平行四边形法则三角形法则bababaa复习（2）向量的减法三角形法则baba3.平面向量的加法运算律)(cbacba）（加法交换律：加法结合律：abba复习平面向量概念加法减法运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量的加法、减法运算空间向量具有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交换律加法结合律abba加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律成立吗？ababab+OABbCOCOACAABOAOB空间向量的加减法abOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.平面向量概念加法减法运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量的加法、减法运算空间向量具有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交换律加法结合律abba加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律成立吗？)()(cbacbaabcOABCabcOABCbc+加法结合律abba)(cbacba）（（1）加法交换律：（2）加法结合律：abcabc空间向量的加法、减法运算对空间向量的加法、减法的说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加．说明（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：nnnAAAAAAAAAA114332211A2A3A4A1nAnA推广（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA推广A’B’C’D’ABCDa平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．平行四边形ABCD平移向量a到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—．ABCDABCD平行六面体化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体''''DCBAABCD；⑴BCAB；⑵'AAADABABCDA’B’C’D’例例题化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体例''''DCBAABCD；⑴BCAB解：ABCDA’B’C’D’BCAB⑴AC；⑵'AAADAB'AAADAB⑵'AAAC'CCAC　'AC例题ABMCGD)(21)2()(21)1(ACABAGBDBCAB空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：练习ABMCGDAGMGBMAB原式＝)1()(21ACABMGBMAB＝(2)原式)(21ACABMGBM＝MGMBMGBM练习参考答案空间向量的数乘运算1.回顾1.回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b=λa,称平面向量共线定理.1.回顾2.必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．abbb结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。2）涉及空间任意两个向量问题，平面向量中有关结论仍适用它们。1.回顾例如:a3a3a2.空间向量的数乘运算2.空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()()()ababaaaaa即：（）FEDCBA961231P（）、（）、（）练习OaLAPaB如图：L为经过已知点且平行非零向量a的直线，对空间任意一点O，1，（）tROPOAta2，（）tROPOAtAB非零向量a叫做直线L的方向向量。（1）、（2）都称为空间直线的向量表示式。即：空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定3.向量的平行与重合点P在直线L上点P在直线L上问题；如图；已知空间四边形ABCD中，向量AB=a，AC=b，AD=c，若M为BC的中点，G为ΔBCD的重心，试用a、b、c表示下列向量：（1）DM（2）AGAMCGDB1)-2abc（1)3abc（4.例题1已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值.ABCDA1B1C1D111(3)ACABAD解11()()()ADABAAABAAAD12()ADABAA12AC111(3)ACABADxAC2.x4.例题1在正方体AC1中,点E是面AC’的中心,若，求实数x,y.'AEAAxAByADABCDDCBAE4.例题2共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OAaa5.共面向量共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量P与向量共面的充要条件是存在实数对使ba,ba,yx,ybxaP推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使OP=xAB+yAC或对空间任一点O,有OP=OA+xAB+yAC已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，求证：(1)四点E、F、G、H共面；(2)平面EG∥平面AC.OAkOEOBkOFOCkOGODkOHHGFEODCBA6.例题4ABMCGD)(21)2()(21)1(ACABAGBDBCAB空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：7.练习1ABMCGD)(21)1(BDBCABAGMGBMAB原式＝)1()(21ACABMGBMAB＝(2)原式)(21ACABMGBM＝MGMBMGBM空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：)(21)2(ACABAG7.练习1)()1(''CCBCABxACADyABxAAAE')2(ABCDDCBAE在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.7.练习2)()1(''CCBCABxACAABCDDCBE在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.7.练习2ADyABxAAAE')2(ABCDDCBAE在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.7.练习2平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak＋)()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律8.小结abba加法交换律bkakbak＋)(数乘分配律)()(cbacba加法结合律类比思想数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零