3.1.1-数系的扩充和复数的概念

第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念16世纪意大利米兰学者卡当，第一个把负数的平方根写到公式中，在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成了这样问题便得到了解决.40515515,-15能作为‘数'吗？它表示什么意义呢？给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650)，他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来.笛卡尔(R.Descartes,1596—1650)21,?xx由它所创造的复变函数理论，成为解决电磁理论，航空理论，原子能及核物理等尖端科学的数学工具.1.了解数系的扩充过程.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.（重点）3.了解复数的代数表示法.（难点）从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展.从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的.自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前.探究点1数系的扩充负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.刘徽（公元250年前后）数集扩充到整数集负整正整数自然数整数零数分数（有理数）是“分”出来的.早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数.数集扩充到有理数集正整数自然数整数零有理数负整数分数小数11边长为1的正方形的对角线长度为多少？？毕达哥拉斯(约公元前560——480年）无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”.“无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑.数集扩充到实数集正整数自然数整数零有理数负整数实数分无理数数小数正数与负数，有理数与无理数，都是具有“实际意义的量”，称之为“实数”，构成实数系统.实数系统是一个没有缝隙的连续系统.实数集能否继续扩充呢?回顾从自然数系逐步扩充到实数系的过程,可以看到,数系的每一次扩充都与实际需求密切相关.2例如,为了解决这样的方程在有理数集中无解,以及正方形对角线的度量等问题,人们把有理数系扩充到了x-2=0实数系.数系扩充后,在实数系中规定的加法运算、乘法运算,与原来在有理数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致:加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律.21x思考？1ii引入一个新数：i满足探究点2复数的概念2把这个新数添加到实数集中去,得到一个新数集,记作A,那么方程x+1=0在A中就有i解x=i了.从数集A出发,希望新引进的数i和实数之间仍然能实数系那样进行加法和交换律、结乘法运算合律,并希望加法和乘法都满足,乘法对加法满足以及.分配律像把实数a与新引入的数i相加,结果记作;把实数b与i相乘,结果记作;把实数a与实数b和i相乘的结果相加,结果记作a+ibia+bi.a+b加法和乘法的运算律仍然成立,这些运算的结果都可以写成(a,b∈R)的形式,把这些数都添加到i数集A中去.这样的数都可以看作是(a,b∈R)的特殊形式,所以实数系经过扩充后得到的新数集a+biC=a+bi|a应该是,b∈R.a+1i0+bia+i可以看作是,bi可以看作是,a可以看作是,i可以看作a+0i0是+1i.我们把集合C=a+bi|a,b∈R中的数,即形如a+bia,b∈R的数叫做(complexnumber),其中i叫做(imaginaryunit).全体复数所成的集合C叫做(setofcomplexn复数虚数单位umb复数集ers).虚数单位i是瑞士数学家欧拉Euler最早引用的,它取自imaginary(想象的,假想的)一词的词头.复数的概念复数通常用字母z表示，即z=a+bia,b∈R,这一表示形式叫做复数的代数形式.其中ab分别叫做复数z的.实部与虚部与在复数集C=a+bi|a,b∈R中任取两个数a,b,c,d∈R,我们规定:a+bi与c+di相等的充a要条件是+bi,c+dia=c且b=d.思考复数集C和实数集R之间有什么关系?i,,0;bba对于复数当且仅当时它是实数0,0;ab当且仅当时它是实数0,.0ab当且时叫做纯虚数,;0b当时叫做虚数11例如,3+2i,-3i,-3-i,-0.2i都是,2213302,,,,它们的实部分别是虚部分别是123022,,,.,并且其中只有-0.2i是.虚数纯虚数复数集实数集虚数集纯虚数集11.3图,,.RCRC显然实数集是复数集的真子集即,:zabi这样复数可以分类如下0,00.bzba实数复数虚数当时为纯虚数,,,,3.11.复数集实数集虚数集纯虚数集之间的关系可用图表示≠实数m取什么值时,复数z=m+1+m-1i是（1）实数（2）虚数（3.例）纯虚数；；因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数.由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m分析的取值.（1）当m-1=0,即m=1时,复数解z是实数;（2）当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数;（3）当m+1=0,且m-1≠0,即m=-1时,复数z是纯虚数.最后还要指出的是,一般地说,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.例如1+i与2+3i不能比总结提升较大小.1.a=0是复数a+bi(a,b∈R）为纯虚数的（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.非必要非充分条件2.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部的复数是（）A.-2+3iB.3-3iC.-3+3iD.3+3iAB3.下列n的取值中，使in=1(i是虚数单位）的是（）A.n=2B.n=3C.n=4D.n=54.复数z=i+i2+i3+i4的值是（）A.-１B.0C.1Ｄ.iCB5.我们已知i是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，那么方程x2=－1的另一个根是________.－i6.复数i2(1+i)的实部是________.-1(21)(3),..xiyyixyRxy7.已知，其中求与解根据复数相等的定义，得方程组211(3)xyy解得5,42xy1.虚数单位i的引入，数系的扩充；2.复数有关概念：(,)zabiaRbR复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等复数的分类abicdiacbd用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路.———笛卡尔