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重庆大学2002200220022002年高等代数重庆大学2003200320032003年高等代数第1页共2页重庆大学2006年硕士研究生入学考试试题科目代码:421科目名称:高等代数特别提醒考生特别提醒考生特别提醒考生特别提醒考生:答题一律做在答题纸上答题一律做在答题纸上答题一律做在答题纸上答题一律做在答题纸上(包括填空题包括填空题包括填空题包括填空题、、、、选择题选择题选择题选择题、、、、改错题等改错题等改错题等改错题等)，，，，直接做在试题上按零分计直接做在试题上按零分计直接做在试题上按零分计直接做在试题上按零分计。。。。一、（10分）计算行列式：nxbbbxbaaxLLLLLLL21二、（15分）ba,为何值时，方程组−=++−=+−++=−+3)2(33)2()2(223221321xbaaxbxaxxxx有惟一解？无解？有无穷解？无穷解是并求其全部解。三、（15分）设nd,为正整数，证明)1()1(−−ndxx的充分必要条件为nd。四、（10分）设向量组sααα,,,21L线性无关，且1β可由sααα,,,21L线性表示，而2β不能由sααα,,,21L线性表示，证明对任意实数l，向量组2121,,,,ββααα+lsL线性无关。五、（10分）设A为n阶方阵，*A是A的伴随矩阵，证明=01)(*nAR1)(1)()(−−==nARnARnAR。六、（10分）设BA,为n阶方阵，证明；线性方程组0=ABX与0=BX同解的充分必要条件是)()(BRABR=。七、（10分）已知平面上三条不同的直线方程分别为,032:1=++cbyaxl,032:2=++acybxl032:3=++baycxl；证明这三条直线交于一点的充分必要条件是0=++cba。八、（20分）C表示复数域，{}CaaCMijnnijn∈=×)()(1．问)(CMn关于矩阵的加法与数乘能否作为实数域R的线性空间？若能，求出其维数；2．选定XAAXXCMAA−→∈：定义σ),(2）上的（是），证明（CMCMXA22σ∈∀线第2页共2页性变换；3．证明：数0是Aσ的一个特征值。九、（15分）设BA,均为n阶实对称矩阵，且B正定。1．证明：存在阶可逆矩阵T，使BTTATT′′,同时为对角阵；2．设=−=1112,1112BA求可逆矩阵T，使BTTATT′′,同时为对角阵。十、（10分）设V是n维欧氏空间，mααα,,,21L是V的一组标准正交向量，证明：对任意的∑=≥∈miiV122),,βαββ（总有。十一、（15分）设A是n阶反对称阵。1．证明：1与-1不是A的特征值。2．令的特征值不是是正交阵，且证明：BBAEAEB1,))((1−+−=−。十二（10分）AAkAnk相似于。证明：任意自然数的特征值全为阶方阵设,1。第1页共3页科目代码科目代码科目代码科目代码:820:820:820:820科目名称科目名称科目名称科目名称::::高等代数高等代数高等代数高等代数特别提醒:答案一律做在答题纸上(包括填空题、选择题、改错题等),直接做在试题上不给分。总分:150分一、填空题（共30分，每空3分）1.多项式3()510fxxx=+−在有理数域上是的(注:填可约或不可约).2.对称多项式222123123(,,)fxxxxxx=++表示为初等对称多项式是.3.4级行列式1111124811111248−−−−−−−的值为.4.将矩阵2143⎛⎞⎜⎟⎝⎠写成初等矩阵之积.5.设1(1,1,)kα=，2(1,,1)kα=，3(,1,1)kα=是线性无关的，则k的取值为.6.二次型22212312323(,,)232fxxxxxxtxx=+++是正定的，则t取值范围为.7.3R中的向量123(,,)aaaα=在基1(1,1,1)α=,2(0,1,1)α=,3(0,0,1)α=下的坐标是.8.设三级方阵A的三个特征值是1,2,-2.矩阵B与A相似,则B的伴随矩阵*B的三个特征值是.9.在3R中与向量(1,1,2)和(11,0)−都正交的单位向量是.10.正交矩阵的实特征值为.第2页共3页二、计算题（共60分）1.(10分)计算n级行列式112311223110000000000000nnnnnaxaaaaxxxxxxx−−−+−−−⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋯⋯,其中10niix=≠∏.2.(15分)当参数,λµ取何值时,线性方程组1232312321(1)132xxxxxxxxλλµ++=⎧⎪−++=⎨⎪++=+⎩(1)无解;(2)有唯一解;(3)有无穷多解并求其通解.3.(15分)设4元二次型12341234(,,,)22fxxxxxxxx=+.(1)写出二次型1234(,,,)fxxxx的矩阵表达式1234(,,,)'fxxxxXAX=;(2)求A的特征值和特征向量;(3)求正交阵P,使得1PAP−=Λ,其中Λ是对角阵;(4)写出二次型1234(,,,)fxxxx的标准形.4.(12分)在3P中定义线性变换Α为Α12312231(,,)(2,,)xxxxxxxx=−+.(1)求Α在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵;(2)设(1,0,2)α=−,求Αα在基123(2,0,1),(0,1,1),(1,0,2)ααα==−=−下的坐标;(3)Α是否可逆?若可逆,求Α1−,若不可逆,说明原因.5.(8分)求下列复系数矩阵第3页共3页000410012010130016A−⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦的不变因子及若尔当标准形.三、证明题（共60分）1.(10分)设12,,,naaa⋯为互异的数,令12()()()()nFxxaxaxa=−−−⋯.证明:1()1()'()niiiFxxaFa==−∑.2.(10分)给定数域P上的分块矩阵0ACMB⎛⎞=⎜⎟⎝⎠,其中A为mn×的矩阵，B为kl×的矩阵，证明()()()rankArankBrankM+≤.(注:()rankA表示矩阵A的秩)3.(10分)设A是半正定矩阵，证明存在唯一的半正定矩阵B使得2AB=.4.(15分)设Α是n维欧氏空间V上的线性变换,1V=ΑV,2V=Α1(0)−分别是Α的值域和核,12,,,rααα⋯是1V的一组基,12,,,rβββ⋯分别是12,,,rααα⋯的原象.令12(,,,)rWLβββ=⋯,则2VWV=⊕.5.(15分)设Α与Β为n维欧氏空间V上的两个线性变换.若对任意的Vα∈,有(Αα,Αα)=(Βα,Βα),则ΑV与ΒV作为欧氏空间是同构的.