二面角大小的求法

雨峰工作室[0,π]竖立式l横卧式ll二面角大小的求法loloABloAB定义法垂面法三垂线法A1B1C1ABC射影面积法多边形射影多边形SScos二面角大小的求法二面角大小的求法设和分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，,lmnnm、mnllnm结论①或结论②平面与平面所成的二面角的计算公式是：mnmnarccosmnmnarccos（当二面角为锐角、直角时）（当二面角钝角时）21SDCBA例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD=.求面SCD与面SAB所成的角的大小。二面角大小的求法法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S△SCD与S△SAB即可，故所求的二面角θ应满足cosSCDSABSS111212322=63=21SDCBA例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD=.求面SCD与面SAB所成的角的大小。二面角大小的求法解法2：（三垂线定理法）延长CD、BA交于点E，连结SE，SE即平面CSD与平面BSA的交线.又∵DA⊥平面SAB，∴过A点作SE的垂线交于F.如图.EF且AD∥BC∵AD＝BC21∴△ADE∽△BCE∴EA＝AB＝SA又∵SA⊥AE∴△SAE为等腰直角三角形，F为中点，222221SASEAF又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE∴由三垂线定理得DF⊥SE∴∠DFA为二面角的平面角,∴tanDFA＝即所求二面角的正切值.22FADA评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计算求出相应的角。则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，1，0)，D(0，，0)，S(0，0，1)，21易知平面SAB的法向量为m=(0，，0)；2121SDCBA例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD=.求面SCD与面SAB所成的角的大小。二面角大小的求法解法3：（向量法）如图，建立空间直角坐标系，设平面SDC的法向量为n=(x，y，z)，00nDCnDS102102xyyz得∵面SAB与面SCD所成角的二面角为锐角θ1x2,y1zn令得：。即=(1，2，1)cos,nmmnmn1162==36∴θ=arccos36故面SCD与面SBA所成的角大小为arccos36评注：通过此例可以看出：求二面角大小（空间面面角等于二面角或其补角）的常规方法是构造三角形求解，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单。利用建立空间直角坐标系，避开了“作、证”两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现了程序化，是一种有效方法。xyz例2、已知D、E分别是正三棱柱ABC一A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小.二面角大小的求法ABAA1B1C1DE解：（几何法）在平面A1B1B内延长DE和A1B1交于F，则F是面DEC1与面A1B1C1的公共点，C1也是这两个面的公共点，连结C1F，C1F为这两个面的交线，所求的二面角就是D-C1F-A1.∵A1D∥B1E，且A1D=2B1E，∴E、B1分别为DF和A1F的中点.∵A1B1=B1F=B1C1，∴FC1⊥A1C1.又面AA1C1C⊥面A1B1C1，FC1在面A1B1C1内，∴FC1⊥面AA1C1C.而DC1在面AA1C1C内，∴FC1⊥DC1.∴∠DC1A1是二面角D-FC1-A1的平面角..4由已知A1D=B1C=A1C1，∴∠DC1A1=故所求二面角的大小为4F例2、已知D、E分别是正三棱柱ABC一A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小.ABAA1B1C1DE解：(向量法）建立如图的空间直角坐标系,xyzA)1,1,3()0,1,3(1EB则，)2,0,0()0,2,0(1DC易知平面A1B1C1的法向量为n=(0,0,1),设平面DEC1的法向量为=(x，y，z),而m100mDEmDC30220xyzyz)1,1,0(m1,0zyx得不妨设22),cos(mn二面角大小的求法二面角为锐角所成角的与面面1111DECCBA4xyz二面角大小的求法向量法课堂练习：如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=DA=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点，求二面角B-PQ-D的大小。CABC1QD1A1B1PD二面角大小的求法解：建立如图所示的坐标系D---xyz，，则)1,1,0(),21,2,0(,0,1,1QPBA(1,0,0)，).1,0,1(),21,1,1(),0,0,1(BQBPDADA),,(zyxn因DA⊥面PQD，所以是面PDQ的法向量。设为面BPQ的法向量，则BQnBPn,,0021zxzyxyzzx2cos32,DAnDAnDAn从图中可知，二面角B-PQ-D为锐角，因此二面角B-PQ-D的大小为32arccosxyz111CBAABC3231AABCBDBADB1如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且。求二面角的大小。DABCA1B1C1二面角大小的求法雨峰工作室