3.5 对数函数与指数函数的导数

首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析3．5对数函数与指数函数的导数首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析想一想：1．对数函数的导数(1)(lnx)′＝1x；(2)(logax)′＝1xlogae.2．指数函数的导数(1)(ex)′＝ex；(2)(ax)′＝axln_a.首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析做一做：1．下列选项正确的是(D)(A)(logax)′＝1x(B)(logax)′＝ln10x(C)(3x)′＝3x(D)(3x)′＝3xln3解析：由导数公式知选D.2．若f(x)＝lgx，则f′(10)等于(C)(A)0(B)110(C)110lge(D)lge解析：f′(x)＝1xlge，∴f′(10)＝110lge.首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析3．函数y＝10x的导数为(B)(A)y′＝10x·ln10(B)y′＝1210x·ln10(C)y′＝1210x·ln10(D)y′＝x1010x解析：y′＝(10x)′＝10x2·ln10·12＝1210x·ln10.故选B.4．若f(x)＝e5x2－1，则f′(0)＝________.解析：f′(x)＝e5x2－1(5x2－1)′＝10xe5x2－1，所以f′(0)＝0.答案：0首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析知识要点一：准确理解和记忆对数函数、指数函数的求导公式对于公式(lnx)′＝1x和(ex)′＝ex很好记，但对于公式(logax)′＝1xlogae和(ax)′＝axlna的记忆就较难，特别是两个常数logae、lna很容易混淆．应加强对它们的区分，避免应用时出现错误．知识要点二：应用公式求导数对数函数、指数函数的导数，是常用导数公式中较难的两类函数的导数，要熟记公式，会用公式，活用公式．解决指数、对数函数的导数问题，也应充分重视指数、对数运算性质的准确使用，以保证变换过程的等价性．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析对数函数的导数，以及复合函数求导【例1】求下列函数的导数：(1)y＝log2(x＋1＋x2)；(2)y＝ln1＋x21－x2.思路点拨：应用对数函数的求导公式，结合四则运算求导法则及复合函数的求导法则进行解题．解：(1)y′＝log2ex＋1＋x2(x＋1＋x2)′＝log2ex＋1＋x2[1＋121＋x2·(1＋x2)′]＝log2ex＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝log2e1＋x2.首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析(2)由对数运算性质，有y＝12[ln(1＋x2)－ln(1－x2)]．y′＝12[1＋x2′1＋x2－1－x2′1－x2]＝12(2x1＋x2－－2x1－x2)＝2x1－x4.深刻理解、掌握对数函数求导公式的结构规律，是解决问题的关键．在求解过程中，容易漏掉或混淆系数，因此解题时，要认真观察函数的结构特点，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路打开．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析变式训练11：求函数y＝log2(2x2＋3x＋1)的导数．解：y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′＝log2e2x2＋3x＋1(2x2＋3x＋1)′＝log2e2x2＋3x＋1(4x＋3)＝4x＋3log2e2x2＋3x＋1.首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析指数函数的导数，以及复合函数求导【例2】求下列函数的导数：(1)y＝esinx；(2)y＝exx2＋ln3；(3)y＝xex2；(4)y＝acosx.思路点拨：解答本题可按复合函数的求导法则及指数函数的求导公式求导．解：(1)y′＝esinxcosx；(2)y′＝ex·x2－ex·2xx4＝x－2exx3；(3)y′＝(1＋2x2)ex2；(4)y′＝－acosxsinxlna.首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析(1)指数函数y＝ax的求导公式与幂函数y＝xn的求导公式容易混淆，要注意它们的本质区别，(ax)′＝axlna，(xn)′＝nxn－1.(2)在公式(logax)′＝logaex＝1xlna与(ax)′＝axlna中，求导后的系数很容易混淆，应注意通过比较加以记忆．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析变式训练21：求下列函数的导数：(1)y＝(2e)2x；(2)y＝10sin2x.解：(1)y′＝(2e)2xln(2e)·(2x)′＝2(2e)2x(1＋ln2)．(2)y′＝10sin2xln10·(sin2x)′＝10sin2xln10·2sinxcosx＝10sin2xln10·sin2x.首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析对数函数、指数函数求导公式的综合运用【例3】已知f(x)＝x2·lg2＋2x·lgx.求：(1)f′(x)；(2)f(x)在x＝1处的切线方程．思路点拨：正确利用指数、对数函数的求导公式是解决本题的关键，利用导数的几何意义求得所求切线的斜率及方程．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析解：(1)f′(x)＝(x2·lg2)′＋(2x·lgx)′＝2xlg2＋2x·ln2·lgx＋2x·1xlge＝2xlg2＋2x(ln2·lgx＋1xlge)．(2)f′(1)＝2lg2＋2lge，x＝1时，f(1)＝lg2.∴所求切线方程为y－lg2＝(2lg2＋2lge)(x－1)，即(2lg2＋2lge)x－y－lg2－2lge＝0.结合函数特点及指数函数、对数函数的求导公式，正确运用求导公式及法则求导，对于公式要避免出现记忆方面的错误．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析变式训练31：求函数y＝xx(x0)的导数．解：∵y＝xx＝exlnx，∴y′＝exlnx·(xlnx)′＝exlnx·(lnx＋1)＝xx(lnx＋1)．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析基础达标1．若f(x)＝ex，则f′(0)等于(B)(A)0(B)1(C)e(D)e－1解析：f′(x)＝ex，f′(0)＝e0＝1.2．设f(x)＝10x＋lgx，则f′(1)等于(B)(A)10(B)10ln10＋1ln10(C)10ln10＋ln10(D)11ln10解析：f′(x)＝(10x＋lgx)′＝(10x)′＋(lgx)′＝10xln10＋1x·1ln10f′(1)＝10ln10＋1ln10.故选B.首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析3．设y＝logax1－x(a＞0，a≠1)，则y′等于(B)(A)1x1－x(B)1x1－xlna(C)－1x1－xlogae(D)1x1－xlogae解析：令u＝x1－x，则y＝logau，∴y′x＝y′u·u′x＝1u·1lna·1－x－x·－11－x2＝1x1－xlna.首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析4．y＝ex2－1的导数是(B)(A)y′＝(x2－1)ex2－1(B)y′＝2xex2－1(C)y′＝(x2－1)ex(D)y′＝ex2－1解析：y′＝ex2－1·(x2－1)′＝2x·ex2－1.故选B.5．函数y＝lncos2x的导数y′等于(B)(A)－tan2x(B)－2tan2x(C)2tanx(D)2tan2x解析：y′＝2cos2x·(－sin2x)＝－2tan2x.首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析6．已知f(x)＝eπx·sinπx，则f′(12)＝______.解析：∵f′(x)＝πeπx·sinπx＋π·eπx·cosπx，∴f′(12)＝πeπ2.答案：πeπ27．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝____________.解析：∵曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，故切线斜率为2.∵y＝eax，∴y′＝aeax.∵y′|x＝0＝2，∴ae0＝2.∴a＝2.答案：2首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析能力提升8．函数y＝12(ex＋e－x)的导数是(A)(A)y′＝12(ex－e－x)(B)y′＝12(ex＋e－x)(C)y′＝ex－e－x(D)y′＝ex＋e－x解析：y′＝12(ex＋e－x)′＝12[ex＋e－x(－x)′]＝12(ex－e－x)．首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析9．若曲线f(x)＝xn＋3x在点M(1,4)处的切线斜率为3＋3ln3，则n等于(A)(A)3(B)2(C)4(D)1解析：f′(x)＝n·xn－1＋3xln3，当x＝1时，f′(1)＝n＋3ln3＝3＋3ln3，∴n＝3.故选A.首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析解析：∵y′＝ex－e·1x＋ex－elnx，∴曲线在点(e，1)处的切线斜率为k＝1e＋1＝1＋ee，∴y－1＝1＋ee(x－e)，即y＝1＋eex－e.10．曲线y＝ex－elnx在点(e，1)处的切线方程为________________________________________________________________________．答案：y＝1＋eex－e首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析11．求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝ln(x＋1＋x2)；(3)y＝ex＋1ex－1.解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝1x＋1＋x2·(x＋1＋x2)′＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.(3)y′＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ex－12＝－2exex－12.首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析探究创新12．求y＝x(lnx)n的导数．解：对y＝x(lnx)n两边取自然对数，得lny＝lnx(lnx)n＝(lnx)n·lnx＝(lnx)n＋1.两边同对x求导，得1y·y′＝(n＋1)(lnx)n·(lnx)′＝(n＋1)lnxnx.∴y′＝n＋1lnxnx·y＝n＋1lnxn·xlnxnx＝(n＋1)(lnx)n·x(lnx)n－1.首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析1．(2009年高考全国卷Ⅰ)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()(A)1(B)2(C)－1(D)－2解析：设切点为P(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，又∵y′|x＝x0＝1x0＋a＝1，∴x0＋a＝1，∴y0＝0，x0＝－1，∴a＝2.故选B.首页末页上一页下一页瞻前顾后演练广场要点突破典例精析考题赏析2．(2010年高考陕西卷)已知函数f(x)＝x，g(x)＝alnx，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程．(2)略．解：(1)f′(x)＝12x，g′(x)＝ax(x＞0)，由已知得x＝alnx，12x＝ax，解得a＝e2，x＝e2，∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)．切线的斜率为k＝f′(e2)＝12e，∴切线的方程为y－e＝12e(x－e2)，即y＝12ex＋e2.(2)略．