30微积分基本公式

主要内容：第五章定积分及其应用第二节微积分基本公式一、位置函数与速度函数之间的联系；二、积分上限的函数及其导数；三、牛顿莱布尼茨公式.设物体从某定点开始作直线运动,在t时刻物体所经过的路程为S(t),速度为vv(t)S(t)(v(t)0),则在时间间隔[T1,T2]内物体所经过的路程S可表示为一、位置函数与速度函数之间的联系上式表明,速度函数v(t)在区间[T1,T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1,T2]上的增量.思考：这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？)()(12TSTS及dttvTT)(21,即)()()(1221TSTSdttvTT.即二、积分上限的函数及其导数,],[)(baCxf则积分上限的函数xattfxd)()(证明,],[,bahxx有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理1若ab)(xfyOxyx)(x)(fhx.],[)(上的一个原函数在是baxf)())(()(xfdttfxxa注：)())(())(()()(xxfdttfxxa一般地：)())(())(()()(xxfdttfxbxxatxdtex._________)(,)(112则）设：（例bxxdttfxxf._________)(,)()()()2(则连续，设2._________)(,)()()()3(xaxdttfxxf则连续，设)())(()())(())(()()()(xxfxxfdttfxxx一般公式：).()())](([))(()()2(xfxfxxfdttfxbx故填)(2)(2))(())(()()3(22222xxfxxfxxfdttfxxa故填.,)()(1222xxaxteedtex故填）设解：（)11lim.220302xdtexxtx（求极限例2030031lim)()(lim22xexxdtexxxtx原式解：xxexexxxx62lim)3()1(lim2202031lim3120xxe7例3).(,d)(23xftexfxxt求设解)()()(3232xexexfxx32232xxexxe,)1()(.40xdttx设函数例）则下列结论正确的是（1)()B(1)()(的极小值为的极大值为xxA21)()(21)()C(的极小值为的极大值为xDx1))1(()(0xdttxx解：01)(1xxx时：当01)(1xxx时：当1021)1()1(dtt极小所以：).(D故正确的选择为.)1,0(1)(2:,1)(0]1,0[)(.50内有几个根区间在判断方程连续，且上在区间设函数例xdttfxxfxfxdttfxx01)(2)(解：令011)(02)0(:00dttf则0121)(12)1(1010dtdttf001)(2)(),1,0(dttf使得：存在由连续函数零点定理知.)1,0(1)(20至少有一根内在即方程：xdttfx112)(2)1)(2()(0xfdttfxxx但：只有一个零点，内最多在故)1,0()()(xx.)1,0(1)(20最多只有一个根内在即方程：xdttfx.)1,0(1)(20恰有一个根内在综合得：方程xdttfx若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则)()()(aFbFdxxfba.定理2(牛顿莱布尼茨公式))()()(aFbFdxxfba.证明设dttfxxa)()(,则也是f(x)的原函数.证明因为F(x)和(x)都是f(x)的原函数,所以存在常数C,使F(x)(x)C.由F(a)(a)C及(a)0,得CF(a),F(x)(x)F(a).由F(b)(b)F(a),得(b)F(b)F(a),即三、牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.三、牛顿莱布尼茨公式若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则)()()(aFbFdxxfba.定理2(牛顿莱布尼茨公式)为了方便起见,可把F(b)F(a)记成baxF)]([,于是)()()]([)(aFbFxFdxxfbaba.解若F(x)是f(x)的原函数,则)()()]([)(aFbFxFdxxfbaba.解例6例3计算121dxx.解2ln2ln1ln|]|[ln11212xdxx.解2ln2ln1ln|]|[ln11212xdxx.解2ln2ln1ln|]|[ln11212xdxx.例7计算正弦曲线ysinx在[0,p]上与x轴所围成的平面图形的面积A.2)1()1(]cos[sin00ppxxdxA.2)1()1(]cos[sin00ppxxdxA.2)1()1(]cos[sin00ppxxdxA.yoxxysinp例8汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？t2(s).当汽车停止时,有v(t)v0at105t.刹车后t时刻汽车的速度为v(t)105t0,汽车刹车时的初速度为解m/s10m/s3600100036km/h360v.于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为dttdttvs)510()(2020)m(10]21510[202tt.dttdttvs)510()(2020)m(10]21510[202tt.dttdttvs)510()(2020)m(10]21510[202tt.xxxd)12(10解,210时当x,121时当x原式1dx41;0)12(xx.0)12(xx0)12(xx令.21,0xx0dx2121)12(xx)12(xx如被积函数有绝对值,注:再用去掉后,N-L公式.应分区间将绝对值例9求例10已知函数.21,1,10,,01,1)(时当时当时当xxxxxxf求积分上限的函数.d)()(1xttfx,)0,1[时当xxt1d1.1xxttfx1d)()(,]1,0[时当xxttfx1d)()(1dtxtd00t1.212x,]2,1(时当xxttfx1d)()(1dt010dt1txt1d)1(t.22xx解.21,,10,1,01,1)(221221时当时当时当xxxxxxxx证明例11设f(x)连续,u1(x),u2(x)可导,则有).()]([)()]([)(1122)()(21xuxufxuxufdttfdxdxuxu设F(x)为f(x)的一个原函数,则有)]([)]([)(12)()(21xuFxuFdttfxuxu于是)()(21)(xuxudttfdxd)()]([)()]([1122xuxuFxuxuF).()]([)()]([1122xuxufxuxuf解设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定积分为常数,,d)(10axxf设bxxf20d)(,则故应用积分法定此常数.例12例13设f(x)在[0,)内连续,且f(x)0.证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在(0,)内为单调增加函数.证明因为2000))(()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF200))(()()()(xxdttfdttftxxf.2000))(()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF200))(()()()(xxdttfdttftxxf.按假设,当0tx时,f(t)0,(xt)f(t)0,所以0)(0dttfx,0)()(0dttftxx,0)(0dttfx,0)()(0dttftxx,从而F(x)0(x0),因此F(x)在(0,)内为单调增加函数.例14求极限22222lim().12nnnnnnnn解原式221limnninni1201d1xx.4p101)()(1limdxxfnifnnin2111lim1()nniinn10[arctan]xxdttft02_______))()(1(xadttf_______))()(2(2_______))()(3(xadttfbxdttf_______))()(4(badttf_______))()(5(.()(),()()6(）原函数的是的不是上连续，下列函数中，在设xfxfxadttfA)()(bxdttfB)()(2)(21)(xadttftCbadttfD)()(思考题：变上限积分函数的导数.12、Newton---Leibnitz公式些成立？哪些不成立？连续，下列等式中，哪设),(xF)()()()1(aFbFdxxFba)()()()2(aFbFxdFba)()()()3(aFbFdxxFba公式计算定积分利用LeibnitzNewtonbaxdx2)4(badxx2)5(20)6(dxax31)7(dxaxp0sin)8(xdx911)9(dxx20)12)(12(1)6(dxxx21)12)(12(1)7(dxxx02)12)(12(1)5(dxxx22)12)(12(1)11(dxxx下列积分中哪些能用牛顿一莱布尼茨公式，哪些不能用？02121)1(dxx20121)2(dxx10)12)(12(1)9(dxxx02121)3(dxx20121)4(dxx12)12)(12(1)8(dxxx01)12)(12(1)10(dxxxxxfxdttft022)())()(1(xaxfdttf)())()(2(2)(2))(())()(3(2xaxxfxxfdttfbxxfxxfdttf)())](([))()(4(badttf0))()(5().()(),()()6(Dxfxf的原函数的是不是上连续，下列函数中，在设思考题解答：变上限积分函数的导数.1.)(,)(0))((是正确的选择故显然：Dxfdxtfba2、Newton---Leibnitz公式些成立？哪些不成立？连续，下列等式中，哪设)(),(),(xgxfxF答案：成立)()()()1(aFbFdxxFba答案：成立)()()()2(aFbFxdFba答案：不成立)()()()3(aFbFdxxFba公式计算定积分利用LeibnitzNewton