高考数学典型易错题会诊(下)

第1页共116页高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测（下）第2页共116页命题角度3空间距离1．（典型例题）在空间中，与一个△ABC三边所在直线距离都相等的点的集合是（）A．一条直线B．两条直线C．三条直线D．四条直线[考场错解]设该点为P，且P在平面ABC上的射影为O，因为P到△ABC三边所在直线距离都相等，所以O到△ABC的三边直线的距离都相等，即O为△ABC的内心，所以本题中符合条件的点在过0且与平面ABC垂直的直线上，所以选A。[专家把脉]在平面上与一个三角形三边所在直线等距离的点不只内心一个，实际任意两个角的外角平分线的交点（我们称其为傍心）也符合到三角形三边所在直线等距离[对症下药]设该点为P，且P在平面ABC上的射影为O，因为P到△ABC三边所在直线距离都相等，所以O到△ABC的三边所在直线的距离都相等，即O为△ABC的内心或傍心，所以本题中符合题意的点在过内心或傍心且与平面ABC垂直的直线上，这样的直线有4条，所以选D。2．（典型例题）如图10-15，在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP。（1）求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）设O点在平面D1AP上的射影为H，求证：D1H⊥AP；（3）求点P到平面ABD1的距离。[考场错解]第（3）问：∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AB⊥面BCC1B1，∴BP⊥AB，∴BP即为P到平面ABD1的距离，在Rt△BCP中，BP=17[专家把脉]线面垂直的判定有误，错解中BP⊥AB，但BP与平面ABD1不垂直，所以P到平面ABD1的距离不是BP。正解一：（1）如图10-16，连接BP，∵AB⊥平面BCC1B1，∴AP与平面BCC1B1所成的角就是∠APB。∵CC1=4CP，CC1=4，∴CP=1。在Rt△APB中，∠PCB为直角，BC=4，CP=1，故BP=.17在Rt△APB中，∠APB为直角，tan∠APB=,17174BPAB∴∠APB=arctan17174.(2)连接A1C1，B1D1，∵A1B1C1D1为正方形，∴D1O⊥A1C1又AA1⊥底面A1B1C1D1，∴AA1⊥D1O，∴D1O⊥平面A1APC1，由于AP平面A1AOC1，∴D1O⊥AP。∵平面D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1H，∴D1H⊥AP。（3）连接BC1，在平面BCC1B1中，过点P作PQ⊥BC1于点Q。∵AB⊥平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1，∴PQ⊥AB，∴PQ⊥平面ABC1D1，∴PQ就是P到平面ABD1的距离，在Rt△C1PQ中，∠C1QP=90°，∠PC1Q=45°，PC1=3，∴PQ=.223即点P到平面ABD1的距离为223。第3页共116页正解二：（1）以DA、DC、1DD分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间坐标系，∵AB⊥平面BCC1B1，∴AP与平面BCC1B1所成的角为∠APB。∵CC1=4CP，CC1=4，∴CP=1，A（4，0，0）、P（0，4，1）。B（4，4，0）。∴PA=（4，-4，-1），)1,0,4(PB∴cos∠APB=33561||||PBPAPBPA∴直线AP与平面BCC1B1所成的角为arccos33561;(2)连接D1O，由（1）有D1（0，0，4）、O（2，2，4），∴OD1=（2，2，0），ODPAODPA11,0又因为D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1H。∴D1H⊥AP；（3）由正方体的性质不难得出CB1为平面ABD1的一个法向量，B1（4，4，4）、C（0，4，0）、P（0，4，1）∴CB1=(-4,0,-4),BP=(-4,0,1),2232232412||||||111的距离为到平面ABDPCBBPCBd3．（典型例题）如图10-17，在三棱锥V—ABC中，底面△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，又V在底面ABC上的射影在线段AC上且靠近C点，且AC=4，VA=14，VB与底面ABC成45°角。（1）求V到底面ABC的距离；（2）求二面角V—AB—C的大小。[考场错解]（1）过V作VD⊥AC，垂足为D，连接BD，由已知有VD⊥平面ABC，在直角三角形VBD中，∠VBD为直线VB与底面ABC所成的角，∠VBD=45°，BD=,242222V到底面ABC的距离等于2。[专家把脉]BD与AC垂直是错误的，BD≠42222，错误的原因是缺少函数方程思想，VD直接计算在本题中做不到，而应设未知数，建立方程来求解。[对症下药]（1）如图10-18，在平面VAC中，过V作VD⊥AC于D，连接BD，由已知VD⊥平面ABC，∠VBD为VB与底面所成的角，∠VBD=45°，设CD=x,则在Rt△VAD中，VD2=VA2-AD2=14-（x-2）2=-x2+8x-2,在直角三角形VBD中，∠VDB=90°，∠VBD=45°，BD2=x2+8-4222x=x2-4x+8.在直角三角形VBD中，∠VDB=90°，∠VBD=45°，∴VD=BD，即-x2+8x-2=x2-4x+8,解得x=1或x=5,又由题意x=5应舍去,∴x=1此时VD=,5218)1(2V到底面ABC的距离为5;(2)过D作OE⊥AB于E,连结VE,∵VD⊥底面ABC,DE⊥AB,∴VE⊥AB,∴∠VED为二面角V—AB—C的平面角。在平面ABC中，CB⊥AB，DE⊥AB，∴DE∥BC，由（1）知,22343,43BCDEACADBCDE在Rt△VDE中，VD=5，∠VDE=90°DE223，∴tan第4页共116页∠VED=2235.310arctan,310VED∴二面角V—AB—C的大小为arctan310.专家会诊空间中的距离以点到面的距离为中心内容，大多数距离问题都可以转化为点到面的距离，求法比较灵活，主要有：（1）直接法。过该点作面的垂线，求出垂线段的长度，不过不能只顾作，计算不出来，应先利用线面的位置关系判断垂足的位置；（2）间接解法：利用三棱锥的体积进行等积变换来求解；（3）利用空间向量求解，公式是||||nnad，其中n为平面的法向量，a为过该点的平面的一条斜线段所确定的一个向量。考场思维训练1如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都为a，P为A1B上的点。（1）试确定PBPA1的值，使得PC⊥AB；答案：过P作PM⊥AB于M，连结CM，∵ABC-A1B1C1为正三棱柱，∴PM⊥平面ABC，∴PC在下底面上的射影为CM，∵PC⊥AB，∴CM⊥AB，又△ABC为等边三角形，∴M为AB中点，即P为A1B的中点，.,11ABPCPBPA时（2）若321PBPA，求二面角P—AC—B的大小；答案：过P作PM⊥AB于N，过N作NQ⊥AC于Q，连结PQ，根据三垂线定理得∠PQN为二面角P—AC—B的平角.PN=aNQa2352,53，在Rt△PQN中，tan∠PQN=60.60,3321053的大小为　即二面角BACPPQNaa（3）在（2）的条件下，求C1到平面PAC的距离。答案：.2,2,215331311211aPACCahaaVShVcACCPPACPAC的距离为到平面解得2长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=9，AB=AC=63，N为BC中点，M为A1B的中点，P为C1D1的中点，如图，（1）求点P到平面B1MN的距离；答案：如图，平面B1MN截长方体所得的截面为A1B1NR，∵C1D1//A1B1，∴C1D1//平面A1B1NR，∴P到平面B1MN的距离等于C1到平面B1MN的距离，作C1G⊥B1N于G，∵ABCD—A1B1C1D1为长方体，∴C1G⊥平面B1MN，在距形BCC1B1中，BB1=AA1=9，B1C1=BC=63，B1N=63，∴∠BB1N=30°，∠C1B1G=60°，C1G=6.9233∴P到平面B1MN的距离为9.（2）求PC与平面B1MN所成的角。答案：∵PC//MB，∴PC与平面B1MN所成的角等于MB与平面B1MN所成的角，过B作BH⊥B1N于H，作BH⊥平面B1MN，∠BMH为MB与平面B1MN所成的角，第5页共116页BH=.43sin.43sin,36,291arcMNBPCBMHMB所成的角为与平面3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面，A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=23，且AA1⊥A1C，AA1⊥A1C。如图所示。（1）求侧棱AA1与底面ABC所成二面角的大小；答案：取AC中点D，连A1D，∵AA1=AC，∴A1D⊥AC又侧面A1ACC1⊥平面ABC，∴A1D⊥平面ABC，∴∠A1AD为AA1与平面ABC所成的角，由已知∠A1AD=45°（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；答案：作DE⊥AB，由三垂线定理AB⊥A1E，∴∠A1ED为侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的平面角.又BC⊥AB，∴DE//BC，DE=,3,1211DABC∴tan∠A1ED=3,∴∠A1ED=60°.∴侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角为60°.（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。答案：D到平面A1ABB1的距离是C到该平面距离的一半，由（2）知平面A1ED⊥平面A1ABB1，作DF⊥A1E，则DF⊥平面A1ABB1，又DF=,23∴C到平面A1ABB1的距离为3.命题角度4简单几何体1．（典型例题）如图10-22，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N。求：（1）该三棱柱侧面展开图的对角线长；（2）PC与NC的长；（3）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。[考场错解]第（2）问：过M作MN⊥CC1于N，则由已知有MN+NP=3+NP=29，NP=29-3，此时N为CC1的中点，NC=2，PC=2963622NCNP。[专家把脉]依题意是MN+NP的最小值为29,而错解中认为MN最小,则MN+NP就最小,这是错误的.[对症下药](1)正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为974922；（2）如图10-23，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°，使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线。设PC=x，则P1C=x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得（3+x）2+22=29，求得x=2,∴PC=P1C=2,.54,5211NCAPCPMANC第6页共116页（3）解法一：连接PP1，则PP1就是MNP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连接CH，由三垂线定理得，CH⊥PP1，∴∠NHC就是平面MNP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）。在Rt△PHC中，∵∠PCH=21∠PCP1=60°，∴CH=12PC、在Rt△NCH中tan∠NHC=,54CHNC∠NHC=arctan54∴平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arctan54。解法2：∵△MPN在△ABC上的射影为△APC，设所求的角为θ则cosθ=41415MNPSAPCS.故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arccos41415.2．(典型例题)如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，其中AB=2，BD=BC=1，AA1=2，E为DC中点，点F在DD1上，且DF=41。（1）求异面直线BD与A1D1的距离；（2）EF与BC1是否垂直？请说明理由；（3）求二面角E—FB—D的正切值。[考场错解]第（2）问：∵ABC