高考数学压轴题二

16高考数学压轴题（函数与导数专题二）题型(二)图像的交点个数与根的分布问题（10题）1．（本小题满分14分）已知函数0)ln()(2xxxaxxf在处取得极值．（I）求实数a的值；（II）若关于x的方程bxxf25)(在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；[来源:学科网ZXXK]（III）证明：对任意正整数n，不等式211lnnnnn都成立．解：（I）,121)(xaxxf……2分0x时，)(xf取得极值，,0)0(f………3分故010201a，解得a=1，[来源:学*科*网Z*X*X*K]经检验a=1符合题意．……4分（II）由a=1知,25)(,)1ln()(2bxxfxxxxf由得,023)1ln(2bxxx令,23)1ln()(2bxxxx则]2,0[25)(在bxxf上恰有两个不同的实数根等价于[来源:学0)(x在[0，2]上恰有两个不同的实数根．------------5分,)1(2)1)(54(23211)(xxxxxx……………6分当)1,0()(,0)(,)1,0(在于是时xxx上单调递增当)2,1()(,0)(,)2,1(在于是时xxx上单调递减．[来源:Z+xx+k.Com依题意有,034)21ln()2(,0231)11ln()1(,0)0(bbb.212ln13lnb…………………9分（III）xxxxf2)1ln()(的定义域为},1|{xx……………10分由（1）知,1)32()(xxxxf………………………………………11分令230,0)(xxxf或得（舍去），)(,0)(,01xfxfx时当单调递增；当x0时，)(,0)(xfxf单调递减．),1()()0(在为xff上的最大值．（12分）0)1ln(),0()(2xxxfxf故（当且仅当x=0时，等号成立）………13分17对任意正整数n，取01nx得，.11ln,11)11ln(22nnnnnnn故-----14分2.设函数（Ⅰ）求的单调区间；[来源（Ⅱ）当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）证明：当mn0时，。[来源:学§科§网]解：（Ⅰ）①时，∴在（—1，+）上市增函数②当时，在上递增，在单调递减（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减又∴∴当时，方程有两解（Ⅲ）要证：只需证只需证设，则由（Ⅰ）知在单调递减∴，即是减函数，而mn∴，故原不等式成立3.已知是函数的一个极值点．⑴求；⑵求函数的单调区间；⑶若直线与函数的图像有个交点，求的取值范围．解：⑴，是函数的一个极值点，⑵由⑴，令，得，，和随的变化情况如下：1300增极大值减极小值增的增区间是，；减区间是(1,3)．()(1)ln(1),(1,0)fxxaxxxa()fx1a()fxt1[,1]2(1)(1)nmmn/()1ln(1)fxaxa0a/()0fx()fx0a()fx1(1,1]aae1[1,)aae()fx1[,0]2[0,1]111(0)0,(1)1ln4,()ln2222fff1(1)()02ff11[,ln2,0)22t()fxt(1)(1)nmmnln(1)ln(1),nmmnln(1)ln(1)mnmnln(1)(),(0)xgxxx/22ln(1)ln(1)1()(1)xxxxxgxxxx(1)ln(1) xxx(0,)(1)ln(1)0xxx()gx()()gmgn3x2()ln(1)10fxaxxxa()fxyb()yfx3b2()ln(1)10fxaxxx'()2101afxxx3x2()ln(1)10fxaxxx'(3)404af16a2()16ln(1)10fxxxx(1,)x2162862(1)(3)'()210111xxxxfxxxxx'()0fx1x3x'()fx()fxxx(1,1)(1,3)(3,)'()fx()fx()fx(1,1)(3,)18⑶由②知，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减．∴，．又时，；时，；可据此画出函数的草图（图略），由图可知，当直线与函数的图像有3个交点时，的取值范围为．4.已知函数⑴求在区间上的最大值⑵是否存在实数使得的图像与的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解：⑴当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上⑵函数的图像与的图像有且只有三个不同的交点，即函数的图像与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图像与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即∴存在实数，使得函数与的图像有且只有三个不同的交点，的取值范围为5.已知函数⑴求f(x)在[0,1]上的极值；⑵若对任意成立，求实数a的取值范围；⑶若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.()fx(1,1)(3,)(1,3)()(1)16ln29fxf极大()(3)32ln221fxf极小1x()fxx()fx()yfxyb()yfxb(32ln221,16ln29)2()8,()6ln.fxxxgxxm()fx,1tt();ht,m()yfx()ygxm22()8(4)16.fxxxx14,t3t()fx,1tt22()(1)(1)8(1)67;htfttttt41,tt34t()(4)16;htf4t()fx,1tt2()()8.htfttt2267,3,()16,34,8,4ttthttttt　　　　　　()yfx()ygx()()()xgxfxx22()86ln,62862(1)(3)'()28(0),xxxxmxxxxxxxxxx(0,1)x'()0,()xx(0,3)x'()0,()xx(3,)x'()0,()xx1,x3x'()0.x()(1)7,()(3)6ln315.xmxm最大值最小值x()0,xx()0.x()xx()70,()6ln3150,xmxm最大值最小值7156ln3.mm()yfx()ygxm(7,156ln3)..23)32ln()(2xxxf0]3)(ln[|ln|],31,61[xxfxax不等式bxxf2)(195.解：⑴，令（舍去）单调递增；当递减.[来源:Z_xx_k.Com]上的极大值.⑵由得设，，依题意知上恒成立，，，上单增，要使不等式①成立，当且仅当⑶由令，当上递增；上递减，而，恰有两个不同实根等价于23)13)(1(33323)(xxxxxxf1310)(xxxf或得)(,0)(,310xfxfx时当)(,0)(,131xfxfx时]1,0[)(613ln)31(在为函数xff0]3)(ln[|ln|xxfxaxxaxxa323lnln323lnln或332ln323lnln)(2xxxxxhxxxxxg323ln323lnln)(]31,61[)()(xxgaxha在或0)32(2)32(33)32(3332)(2xxxxxxxxg03262)62(31323)(22xxxxxxxh]31,61[)()(都在与xhxg.51ln31ln),61()31(aagaha或即或.0223)32ln(2)(2bxxxbxxfxxxxxbxxxx329723323)(,223)32ln()(22则]37,0[)(,0)(,]37,0[在于是时xxx]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时xxx)1()37(),0()37(]1,0[0)(2)(在即xbxxf0215ln)1(067267)72ln()37(02ln)0(bbb.37267)72ln(215lnb206.已知函数⑴如，求的单调区间；⑵若在单调增加，在单调减少，证明：＜6.w.w.w.zxxk.c.o.m解：⑴时，，故w.w.w.zxxk.c.o.mw.w.w.zxxk.c.o.m当当从而单调减少.⑵由条件得从而因为所以将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是w.w7.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．解：（1）．在点处的切线方程为，即．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．8.已知函数，函数是区间[-1，1]上的减函数.（I）求的最大值；（II）若上恒成立，求t的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．解：（I），上单调递减，在[-1，1]上恒成立，，故的最大值为32()(3)xfxxxaxbe3ab()fx()fx(,),(2,)(,2),(,)3ab32()(333)xfxxxxe322'()(333)(363)xxfxxxxexxe(3)(3)xxxxe3x或03'()0;xfx时，303'()0.xxfx或时，()(,3),(0,3)303fx在单调增加，在（，），（，）3223'()(3)(36)[(6)].xxxfxxxaxbexxaeexaxba3'(2)0,22(6)0,4,fababa即故3'()[(6)42].xfxexaxa'()'()0,ff3(6)42(2)()()xaxaxxx2(2)[()].xxx2,2.a2()4124.a(2)(2)0,2()40.即6.a6.3()fxxx()yfx(())Mtft，0a()ab，()yfx()abfa2()31xxf()yfx(())Mtft，()()()yftftxt23(31)2ytxt()ab，t23(31)2btat()ab，()yfx32230tatab32()23gttatab2()66gttat6()ttat()()gtgt，t(0)，(0)a，a()a，()gt()gtab()bfa()ab，()yfx()0gt0()0.abbfa，()abfaxxf)(xxfxgsin)()(]1,1[1)(2xttxg在mexxxfx2)(ln2xxxgxxfsin)(,)(]1,1[)(在xg