高考数学圆锥曲线综合题题库3 含详解

51、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知直线l过椭圆E:2222xy的右焦点F，且与E相交于,PQ两点.(1)设1()2OROPOQ（O为原点），求点R的轨迹方程；(2)若直线l的倾斜角为60°，求11||||PFQF的值.解：(1)设1122(,),(,),(,)PxyQxyRxy112211()(,)[(,)(,)]22OROPOQxyxyxy121222xxxyyy由22222212xxyy，易得右焦点(1,0)F----------（2分）当直线lx轴时，直线l的方程是：1x，根据对称性可知(1,0)R当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为(1)ykx代入E有2222(21)4220kxkxk2880k;2122421kxxk----（5分）于是(,):Rxyx21222221xxkk;(1)ykx消去参数k得2220xyx而(1,0)R也适上式，故R的轨迹方程是2220xyx-（8分）(2)设椭圆另一个焦点为'F，在'PFF中0'120,|'|2,PFFFF设||PFm，则|'|22PFm由余弦定理得2220(22)222cos120mmm2221m同理，在'QFF，设||QFn，则|'|22QFm也由余弦定理得2220(22)222cos60nnn2221n于是111122122122||||22PFQFmn---------（12分）52、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上，.,22OBOAOAOFABOF（1）求双曲线的离心率e；（2）若此双曲线过C（2，3），求双曲线的方程；（3）在（2）的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1的直线l交双曲线M、N，lNDMD求直线,22的方程。PQoxyF解：（1）,2ABOF四边形F2ABO是平行四边形0,0)(22BFOAOBOFOA即,2BFOA∴四边形F2ABO是菱形.∴.||||||22cOFAFAB由双曲线定义得||||,2||11ABAFecaAF,122ecca,022ee)1(2舍去ee（2）,2ace223,2abac，双曲线方程为,132222ayax把点C)3,2(代入有,3.1334222aaa∴双曲线方程.19323yx（3）D1（0，－3），D2（0，3），设l的方程为),(),,(,32211yxNyxMkxy则由0186)3(19332222kxxkyxkxy因l与与双曲线有两个交点，.3k221221318,36kxxkkxx99)(3,3186)(212122122121xxkxxkyykxxkyy,),3,(),3,(22222112NDMDyxNDyxMD09)(3112121yyyyxx,5.0931839318222kkk即.5k故所求直线l方程为3535xyxy或53、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)直线AB过抛物线x2＝2py(p0)的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点．(1)求MN·MB的取值范围；(2)过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点．求证：MN·OF＝0，NQ∥OF．54、设圆满足:（1）截直线y=x所得弦长为2;（2）被直线y=－x分成的一段劣弧所在的扇形面积是圆面积的14倍．在满足条件（1）、（2）的所有圆中,求圆心到直线x+3y=0的距离最小的圆的的方程．解：设所求圆的圆心为P（a,b）,半径为r,则P到直线y=x、直线y=－x的距离分别为2ba、2ba．………（2分）由题设知圆P截直线y=－x所得劣弧所对圆心角为90°,圆P截直线y=－x所得弦长为2r,故r2=222r（2ba）2，即r2=（a+b）2，……………………（4分）又圆P截直线y=x所得弦长为2，所以有r2=1+2)(2ba,从而有2262aabb．……………………（6分）又点P到直线x+3y=0的距离为d=103ba,所以10d2=|a+3b|2=a2+6ab+9b2=8b2+2≥2……………………（8分）当且仅当b=0时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值,由此有a=±2,r=2．…………（10分）于是所求圆的方程为（x－2）2+y2=2或（x－2）2+y2=2…………（12分）55、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)已知椭圆＋y2＝l的左焦点为F，O为坐标原点．(I)求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；(Ⅱ)设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x＋y＝0上，求直线AB的方程．56、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知)0,3(P,点R在y轴上，点Q在x的正半轴上，点M在直线RQ上，且0RMPRMQRM23,.（1）当R在y轴上移动时，求M点轨迹C；（2）若曲线C的准线交x轴于N，过N的直线交曲线C于两点AB，又AB的中垂线交x轴于点E，求E横坐标取值范围；（3）在（2）中，ABE能否为正三角形.解：(1)设MQRMyxM23),(11则由得)28,0(R又由0RMPR得.0)23,).(28,3(yx即xy42…………………………4分(2)由(1)知N（－1，0）设得：)1(xky由0)2(2)1(.422222kxkxkxkyxy得由0102kk且得设),(),,(2211yxByxA对kxxkyykkkxx4)2(221212221∴AB的中点为)2,2(22kkk∴AB的中点为)2(1222kkxkky令312020kxy得即x0＞3.57、(湖北省八校高2008第二次联考)已知A,B是抛物线220xpyp上的两个动点，O为坐标原点，非零向量,OAOB满足OAOBOAOB．（Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；（Ⅱ）当AB的中点到直线20yx的距离的最小值为255时，求p的值．解：OAOBOAOB,OAOB.设A,B两点的坐标为（11,xy），（22,xy）则2211222,2xpyxpy.（1）经过A，B两点的直线方程为211211()()()().xxyyyyxx由221212,22xxyypp，得22212111()()()().22xxxxyyxxpp211211()2xxxxyyxxp.令0x，得2111()2xxyyxp,122xxyp.12120,OAOBxxyy从而221212204xxxxp.120xx(否则,,OAOB有一个为零向量),2124xxp.代入①，得2yp，AB始终经过定点0,2p.……………（6分）（2）设AB中点的坐标为(,xy)，则12122,2,xxxyyy22121212222()xxpypypyy.又2222212121212()2()8xxxxxxxxp,22484xppy，即212yxpp.……………①AB的中点到直线20yx的距离25yxd.将①代入，得22211122()()555xpxxppxpppppd.因为d的最小值为2525,,2555pp.……………（12分）（若用导数求切线的斜率为2的切点坐标，参考给分.）58、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)已知半圆)0(422yyx，动圆M与此半圆相切且与x轴相切。（1）求动圆圆心M的轨迹方程。（2）是否存在斜率为31的直线l，它与（1）中所得轨迹由左到右顺次交于A、B、C、D四个不同的点，且满足|AD|=2|BC|？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由。（1）设动圆圆心),(yxM，作MN⊥x轴于点N①若两圆外切：2||||MNMO，则222yyx化简得：44222yyyx)1(42yx)0(y……………3分②若两圆内切：||2||MNMO，则yyx22222244yyyx)1(42yx)0(y……………5分综上，动圆圆心的轨迹方程是)1(42yx)0(y及)1(42yx)0(y………6分其图象为两条抛物线位于x轴上方的部分，如图所示。（2）假设直线l存在，可设l的方程为y31bx。依题意得，它与曲线)1(42yx交于点DA,，与曲线)1(42yx交于点CB,。即01212432bxx①01212432bxx②||AD231)(1||DAxx，||BC231)(1||CBxx||AD2||BC||DAxx=2||CBxxy31bx)1(42yxy31bx)1(42yx即234)(+34)1212(b=4[234)(－34)1212(b得b32……………11分将其代入方程①得2AxDx310因为曲线)1(42yx的横坐标范围为),2()2,(，所以这样的直线l不存在。……………13分59、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足.0||,022TFTFPT（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明1||cFPaxa；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=.2b若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．解（Ⅰ）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得22222212||()()bFPxcyxcbxa2().caxa又由,xa知0caxcaa，所以1||.cFPaxa（Ⅱ）当0||PT时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上．当||0PT且2||0TF时，由2||||0PTTF，得2PTTF．又2||||PQPF，所以T为线段F2Q的中点．在△QF1F2中，11||||2OTFQa，所以有222.xya综上所述，点T的轨迹C的方程是222.xya（Ⅲ）C上存在点M（00,yx）使S=2b的充要条件是2220020,12||.2xyacyb③④由③得ay||0，由④得.||20cby所以，当cba2时，存在点M，使S=2b；当cba2时，不存在满足条件的点M．当cba2时，100200(,),(,)MFcxyMFcxy，由2222221200MFMFxcyacb，121212||||cosMFMFMFMFFMF，212121||||sin2SMFMFFMFb，得.2tan21MFF【总结点评】平面向量与椭圆的综合问题是《考试大纲》所强调的问题，应熟练掌握其解题技巧，一般地，在这类问题种，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想，比如本题（Ⅰ）本质是焦半径公式，核心内容还是椭圆的第二定义的转化思想．（Ⅱ