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一月联考数学公式一月联考数学公式一月联考数学公式一月联考数学公式一、实数一、实数一、实数一、实数概念性质实数及其运算�质数：只有1和它本身两个约数，最小的质数为2�合数：有除了1和它本身以外的约数�奇数：不能被2整除的数�偶数：能被2整除的数能被2整除的数：个位为0,2,4,6,8能被3整除的数：个数位数字之和必能被3整除能被4整除的数：末两位数字必能被4整除能被5整除的数：个位为0或5能被6整除的数：同时满足能被2和3整除的条件绝对值和平均值�绝对值：,00,0,0aaaaaa⎧⎪==⎨⎪−⎩�算术平均值=naaan/)...(21+++�几何平均值=nnaaa⋅⋅⋅21�对称性：互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|；�等价性：任何实数的算术平方根就是这个实数的绝对值，||2aa=，其中a∈R；�非负性：任何实数的绝对值非负，即|a|≥0；�当12,,naaaL全为正数时，naaan/)...(21+++≥nnaaa⋅⋅⋅21比和比例�比：两个数相除可称为这两个数的比，记为ba:，即baba=:，其中a称为比的前项，b称为比的后项.若a除以b的商为k，则称k为ba:的比值.�比例：如果两个比ba:和dc:的比值相等，则称a、b、c、d成比例，记为dcba::=或�kbakba=⇔=:；�)0(::≠=mmbmaba�bcaddcba=⇒=::；����dbcaacbddcba::::::=⇔=⇔=dcba=，其中a和d称为比例外项，b和c称为比例内项.常考题型�1.数的整除与带余除法�2.判断数的奇偶性�3.利用质因数分解解题�4.最大公因式、最小公倍数的计算�5.无理数的判断及运算�6.循环小数转化成分数的方法�7.绝对值的定义�8.绝对值的性质（自比性）�9.绝对值的非负性�10算术平均值几何平均值定义�11.应用均值不等式解题�重难点：数的整除，质因数分解，最大公因式、最小公倍数计算，绝对值的非负性，均值不等式应用二、整式和分式二、整式和分式二、整式和分式二、整式和分式整式分式运算�概念：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式�加减法：先去括号，再合并同类项.�乘法：先把一个因式的每一项乘以另一个因式的每一项，然后再合并同类项.�除法：因式定理：()Fx含有因式()xa−⇔F(x)=(x-a)g(x)⋅⇔()0Fa=.()Fx含有一次因式()axb−，则()0bFa=.�概念：形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子�加减法：同分母的几个分式相加减，分母不变，分子相加减；不同分母的几个分式相加减，先通分化为同分母后，再分子相加减.�乘除法：DBCADCBA⋅⋅=⋅，余数定理：101()nnnFxaxaxa−=+++L除以一次因式()xa−所得的余数一定是()Fa.()()()Fxqxxar=−+，将xa=带入，则余数()rfa=，即F()()()F()xqxxaa=−+。�幂的运算性质：nmnmaaa+=⋅；)0(≠=÷−aaaanmnm；mnnmaa=)(；nnnbaab⋅=)(.CBDACDBADCBA⋅⋅=⋅=÷����乘方：()nnnaabb=����分式性质：MBMABAMBMABA÷÷=⋅⋅=,（M为不为零的整式）因式分解方法提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法（常用）常用公式22()()ababab−=+−222()2abaabb±=±+33223()33abaababb±=±+±2222()222abcabcabacbc++=+++++3322()()ababaabb±=±+m重难点整式和分式的运算规则，熟练应用常用公式三、指数和对数三、指数和对数三、指数和对数三、指数和对数指数对数定义形如=xya（0a且1a≠）称之为指数函数，其中xR∈一般地，如果a（0a且1a≠）的b次幂等于N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaNb=运算性质1.mnmnaaa+⋅=2.mnmnaaa−÷=1.logaNNa=，更常用lnNNe=2.log()loglogaaaMNMN=+3.()mnmnaa=4.()mmmabab=5.()mmmaabb=6.1mmaa−=3.log()loglogaaaMMNN=−4．log()lognaaMnM=5.1loglognaaMMn=6.换底公式logloglogbabMMa=7.log10a=，log1aa=常见题型1.指数函数，对数函数的计算2.根据指数函数，对数函数的单调性比较函数值大小3.换元法转化为一元二次函数问题求解四、方程与不等式四、方程与不等式四、方程与不等式四、方程与不等式方程一元一次方程一元二次方程二元一次方程组一般形式)0(0≠=+abax20(,,,0)axbxcabcRa++=∈≠111222axbycaxbyc+=⎧⎨+=⎩（a1,a2,b1,b2不同时为0）根的情况abx−=根的判别式：acb42−=∆0∆时，方程有两个不相等的实根，12,2bxxa−±∆=；0=∆时，方程有两个相等的实根，122bxxa−==；0∆时，方程没有实根.如果1221abab≠，则方程组有唯一的解(,)xy;如果111222abcabc==，则方程组有无穷多个解；.如果111222abcabc=≠，则根与系数的关系（韦达定理）：设方程)0(02≠=++acbxax的两个根为21,xx，则有：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅−=+acxxabxx2121.方程组无解.不等式解集一元一次不等式⎪⎩⎪⎨⎧⇔)0()0(aabxaabxbax⎪⎩⎪⎨⎧⇔)0()0(aabxaabxbax一元二次不等式)0(02++acbxax或)0(02++acbxaxacb42−=∆0∆0=∆0∆)0(02=++acbxax的根abx22,1∆±−=abx22,1−=无实根)0(02++acbxax的解集1xx或2xxabx2−≠Rx∈)0(02++acbxax的解集21xxxΦ∈xΦ∈x绝对值不等式axfaaxf−⇔)()(；axfaxf⇔)()(或axf−)(；axfaxf⇔22))(())((；0)(0)()()()(≥⎩⎨⎧−=xfxfxfxfxf不等式的性质,abbcac⇒；,abcdacbd⇒++；0,0abcdacbd⇒；1100abba⇒；00()nnababnN⇒∈常见题型1.一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程求解2.一元二次方程解的情况以及根的分布3.韦达定理4.特殊方程（绝对值方程、指数方程）5.不等式性质及常见不等式解法（一元一次、一元二次不等式）6.特殊不等式①高次不等式②分式不等式③指数不等式④对数不等式⑤无理不等式⑥均值不等式求最值五、数列五、数列五、数列五、数列等差数列等比数列定义等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，就叫等差数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，就叫做等比数列通项1(1)naand=+−11nnaaq−=前nnnn项和1(1)2nnnSnad−=+或1()2nnaanS+=11(1),11,1nnaqqSqnaq⎧−≠⎪=−⎨⎪=⎩性质�112()nnnknknaaaaakn−+−++=+=�1(1)()nmaandanmd=+−=+−�()mnklaaaamnkl+=++=+�,...,,232nnnnnSSSSS−−仍为等差数列�211nnnknknaaaaa−+−+×=×=�111nnknnkaaqaqaq−−−===�()mnklaaaamnkl⋅=⋅+=+�,...,,232nnnnnSSSSS−−仍为等比数列11,1,2nnnanassn−=⎧=⎨−≥⎩常见题型1.已知nS，求na2.已知na，求nS3.等差、等比数列的基本概念（定义、通项na和前n项和nS）4.等差等比数列的性质5.数列综合题nnS⎧⎨⎩①一般综合问题②等差数列前项和的最值问题常见解题技巧1．题型一：已知前n项和nS或na或递推关系中的部分，求其他2．题型二：利用数列元素的性质求解3．题型三：等差与等比结合4．题型四：列项法求合111(1)1nnnn=−−−或特殊数列求和5．题型五：应用题中的数列或隐含数列六、排列组合六、排列组合六、排列组合六、排列组合基本概念及性质1.1.1.1.排列的定义：从n个不同的元素中取出r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个元素中取r个元素的无重复排列，所有排列的个数记作rnP2.2.2.2.组合的定义：从n个不同的元素中取出r个不重复的元素，不考虑元素顺序，称为从n个元素中取r个元素的无重复组合，组合的个数记作rnC3.3.3.3.两个基本原理：1加法原理：一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有1M种不同办法，在第二类办法中有2M种不同办法，……，在第N类办法中有NM种不同办法，那么完成这件事情共有123+NMMMM+++……种不同的方法。2乘法原理：做一件事情，完成它需要分成N个步骤，做第一步有1M种不同的方法，做第二步有2M种不同的方法，……，做第N步有NM种不同的方法。那么完成这件事情共有123NNMMMM=⋅⋅……种不同的方法4.4.4.4.排列数公式：!==(n-1)(n-2)(n-m+1)(n-m)!mnnPn……5.5.5.5.组合数公式：!(n-1)(n-2)(n-m+1)==(n-m)!m!!mnnnCm……6.6.6.6.组合数性质：--1+1=,=+mnmmmmnnnnnCCCCC6.6.6.6.题型归纳：1准确分步及合理分类（两个原理的应用）2相邻问题3不相邻问题4约束条件的排列问题5定序问题（除法策略）6机会均等法7隔板法8不对号问题9解决允许重复排列问题（“分房”转化策略）10至多、至少类问题（分类讨论法）8.8.8.8.排列组合常见的几种解题方法：1列组合混合问题⇒先选后排策略2特殊元素和位置问题⇒特殊优先策略3相邻问题⇒捆绑策略4不相邻问题⇒插空策略5元素相同问题⇒隔板策略6分组问题⇒平均分组策略7至多、至少问题⇒正难则反策略七、概率初步七、概率初步七、概率初步七、概率初步1.1.1.1.概率的定义：随机事件A发生的可能性大小的度量值，叫做事件A的概率.记为)(AP.2.2.2.2.性质：(1)非负性：对于任意的A⊂Ω，0()1PA≤≤；(2)规范性：()0()1PPΦ=Ω=,3.3.3.3.随机事件的概率①必然事件::::在一定条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫做必然发生的事件，简称必然事件。不可能事件3不可能事件：概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件注：不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件4随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现，在大量重复试验中具有某种规律性的事件5古典概型概率的基本求法：定义：如果随机试验具有如下特征：（1）有限性：事件中含有的样本点数为有限个；（2）等可能性：每个试验结果出现都是等可能的，称这样的随机试验为古典概型，又称为等可能概型.计算公式：如果试验的样本空间的样本点数为n，随机事件A所包含的样本点数为m，则记事件A发生的概率为)(AP.()mAPAn==Ω事件中包含的样本点数样本空间中包含的样本点数（1）互斥事件：不能同时发生的事件)()()(BPAPBAP+=+（2）对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件()()1PAPA+=（3）相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响)()()(BPAPABP=6独立重复试验（贝努里概型）：定义：在相同条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种实验.贝努里概型：每次试验成功的概率为P，则n次试验中成功k次的概率为-(k)=C(1-P)kknknnPP⑦常见题型1直接套公式2至多、至少类问题3古典概型4条件概率问题5几何意义的概率问题6特殊