常见数列求和教案(重点)

常见数列求和(重点)适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域全国新课标课时时长（分钟）60知识点1.公式法2.倒序相加3.错位相减4.分组转化5.裂项相消教学目标一、知识与技能1．复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;2．记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;3．学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。二、过程与方法培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。三、情感、态度与价值观培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界.教学重点几种重要的数列求和方法的理解和掌握；教学难点错位相减法的理解、掌握和应用。教学过程一.课程导入：在这之前我们知道一般等差数列和等比数列的求和,但是有时候题目中给我们的数列并不是一定就是等比数列和等差数列,有可能就是等差数列和等比数列相结合的形式出现在我们面前,对于这样形式的数列我们该怎么解决,又该用什么方法?二、复习预习通过学习我们掌握了是不是等差等比数列的判断,同时我们也掌握也一般等差或者等比数列的一些性质和定义,那么对于题中给我们的数列既不是等差也不是等比的数列怎么求和呢,带着这样的问题来学习今天的内容三、知识讲解考点1、公式法如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.考点2、倒序相加类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.考点3、错位相减类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.考点4、裂相相消法把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似（其中{an}是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：考点5、分组求和法有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.四、例题精析【例题1】【题干】数列{1＋2n－1}的前n项和为()．A．1＋2nB．2＋2nC．n＋2n－1D．n＋2＋2n【答案】C【解析】Sn＝n＋1－2n1－2＝n＋2n－1.【例题2】【题干】若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()．A．15B．12C．－12D．－15【答案】A【解析】设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.【例题3】【题干】数列112，314，518，7116，…的前n项和Sn为()．A．n2＋1－12n－1B．n2＋2－12nC．n2＋1－12nD．n2＋2－12n－1【答案】C【解析】由题意知已知数列的通项为an＝2n－1＋12n，则Sn＝n＋2n－2＋121－12n1－12＝n2＋1－12n.【例题4】【题干】已知数列{an}的通项公式是an＝1n＋n＋1，若前n项和为10，则项数n为()．A．11B．99C．120D．121【答案】C【解析】∵an＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.令n＋1－1＝10，得n＝120.五、课堂运用【基础】1.数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}的前20项的和为()．A．700B．710C．720D．730【答案】C【解析】由题意知{an＋bn}也为等差数列，所以{an＋bn}的前20项和为：S20＝a1＋b1＋a20＋b202＝＋7＋2＝720.2.在等差数列{an}中，Sn表示前n项和，a2＋a8＝18－a5，则S9＝________.【答案】54【解析】由等差数列的性质，a2＋a8＝18－a5，即2a5＝18－a5，∴a5＝6，S9＝a1＋a9×92＝9a5＝54.3.等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n＝________.【答案】见解析【解析】当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a2n＝4n－1.∴数列{a2n}是以a21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a21＋a22＋…＋a2n＝－4n1－4＝13(4n－1)．4.已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列1bnbn＋1的前n项和Sn＝________.【答案】见解析【解析】设等比数列{an}的公比为q，则a4a1＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以1bnbn＋1＝1nn＋＝1n－1n＋1.则Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.【巩固】5.已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．【答案】见解析【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3＝－6，a6＝0，所以a1＋2d＝－6，a1＋5d＝0，解得a1＝－10，d＝2.所以an＝－10＋(n－1)·2＝2n－12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3.所以{bn}的前n项和公式为Sn＝b1－qn1－q＝4(1－3n)．6.设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.【答案】见解析【解析】(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{an}的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)(2)Sn＝－2n1－2＋n×1＋nn－2×2＝2n＋1＋n2－2.7.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列1an的前5项和为()．A.158或5B.3116或5C.3116D.158【答案】C【解析】设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1，且－q31－q＝1－q61－q，解得q＝2，所以数列1an是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝3116.【拔高】8.若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1的结果可化为()．A．1－14nB．1－12nC.231－14nD.231－12n【答案】C【解析】an＝2n－1，设bn＝1anan＋1＝122n－1，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12＋123＋…＋122n－1＝121－14n1－14＝231－14n.9.数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n项和Sn＝________.【答案】见解析【解析】由于数列的通项an＝11＋2＋3＋…＋n＝2nn＋＝21n－1n＋1，∴Sn＝21－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝21－1n＋1＝2nn＋1.10.已知数列{an}：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{bn}＝1anan＋1的前n项和Sn为________．【答案】见解析【解析】由已知条件可得数列{an}的通项为an＝1＋2＋3＋…＋nn＋1＝n2.∴bn＝1anan＋1＝4nn＋＝41n－1n＋1.Sn＝41－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝41－1n＋1＝4nn＋1.六、课堂小结1.数列求和的策略与思路数列的求和,其关键是先求出数列的通项公式,然后根据通项公式的结构，选择适当的求和方法.(1)首先判断数列是等差还是等比数列？若是，则代公式，这就是公式法.(2)若不是，再考虑是否可以转化为等差或等比数列求和.2.数列求和的常用方法:(1)公式法（直接求和）;(2)分组转化法(3)错位相减法(4)裂项相消法