一元高次不等式和分式不等式的解法

一元高次不等式和分式不等式的解法(第二课时)掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解法．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题．【课标要求】【核心扫描】一元二次不等式的应用．(重点)一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)与二次函数、二次方程、实际应用题联系密切，而且应用广泛．注意实际问题中变量有意义的范围．1．2．1．2．3．4．一、一元高次不等式的解法：只含有一个未知数，并且未知数的次数高于2次的不等式称为高次不等式。一元高次不等式用穿针引线法求解，其步骤是：(1)将不等式化为标准形式；将高次项的系数化为正数，不等式一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积．(2)求出各因式为0时的实数根，并在数轴上标出．(3)自最右端上方起，用曲线从右至左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(说明：奇过偶不过)．(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．用数轴标根法解简单高次不等式的步骤：（1）整理。先将不等式化成标准形式，即一端为0，另一端为一次（或二次）因式的积的形式。注意各因式中x的系数一定为正数（2）标根。求出各因式的根，并在数轴上依次标出。（3）穿线。用一条曲线由右上方开始从右到左，从上到下依次穿过各根相应的点，注意偶次重根穿而不过，奇次重根照样穿过，即“奇穿偶不穿”。（4）写解集。在数轴上方的曲线所对应的区间是不等式大于0的解集；在数轴下方的曲线所对应的区间是不等式小于0的解集二、分式不等式的解法（转化为标准形）（1）转化为整式不等式求解：()0().()0()fxfxgxgx()0().()0()fxfxgxgx()0().()0()0()fxfxgxgxgx且()0().()0()0()fxfxgxgxgx且（2）转化为整式不等式组求解：()0()0()0()0()0{{()fxfxgxgxfxgx或者()0()0()0()0()0{{()fxfxgxgxfxgx或者()0()0()0()0()0{{()fxfxgxgxfxgx或者()0()0()0()0()0{{()fxfxgxgxfxgx或者三、例题讲解30.7xx.}37|{xxx或，原不等式的解集是307xx∵解：例1解不等式：(3)(7)0(7)0xxx+－+-73三、例题讲解23x2x7x32例2解不等式：解：原不等式化为：023x2x7x32即03x2x1xx2222221023xxxx由于08741x21xx222∴原不等式进一步转化为同解不等式03x2x2(1)(3)0xx∴原不等式的解集为：{x|-3x1}.+－+-31解：0)2)(3)(1(xxx原不等式2(1)(6)0.xxx例3解不等式...31-20)3)(1)(2(xxx∴原不等式的解集为：}.312|{xxx或，三、例题讲解三、例题讲解014x3x2x1x解：原不等式化为：即04x3x10x41x43xx21x例4解不等式：04x3x04x3x10x4···x3425+－－+∴原不等式的解集为：5{|,34}2xxx或[思路探索]将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组．【例2】题型二分式不等式的解法解下列不等式：(1)x－3x＋2＜0；(2)x＋12x－3≤1；(3)2x＋11－x＜0.由二次函数图像与一元二次不等式的关系分析，可以得到常用的两个结论：(1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；不等式恒成立问题当a≠0时a＞0，Δ＜0.(2)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0.当a≠0时，a＜0，Δ＜0.1．分离参数法——解不等式恒成立问题对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.3．题型一恒成立问题当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R?[思路探索]不等式的解集为R，也就是函数f(x)＝(a2－1)x2－(a－1)x－1的图像恒在x轴下方，注意二次项系数a2－1可能为0，也可能小于0，应分两种情况讨论加以解决．【例1】解①当a2－1＝0时，a＝1或－1.若a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－1＜0即x＜12不合题意，舍去．②当a2－1≠0时，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是a2－1＜0Δ＝[－a－1]2＋4a2－1＜0，解得－35＜a＜1.(2)审清题意，弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．例如，“已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对∀a∈[－3,1]，y＜0恒成立”中，变量是a，参数是x，该函数是关于a的函数．规律方法(1)关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x∈R恒成立的条件除了a＞0，Δ＜0外，还应该考虑二次项系数a＝0时是否成立；同样的关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x∈R恒成立的条件除了a＜0，Δ＜0外，应该考虑二次项系数a＝0时是否成立．不等式(a＋1)x2＋ax＋a＞m(x2＋x＋1)对任意x恒成立，试比较a与m的大小．解原不等式整理得(a－m＋1)x2＋(a－m)x＋a－m＞0对任意x恒成立．①当a－m＋1＝0时，原不等式化为－x－1＞0，即x＜－1，不恒成立．②当a－m＋1≠0时，由题意知【训练1】a－m＋1＞0，Δ＝a－m2－4a－m＋1a－m＜0.∴a－m＋1＞0，a－m[3a－m＋1＋1]＞0，∵a－m＋1＞0，∴3(a－m＋1)＋1＞1＞0，∴a－m＞0，∴a＞m.综上，a与m的大小关系是a＞m.