导数-专题知识清单及例题练习(含答案)

1桂林市卓远文化艺术培训学校专用资料导数专题知识清单及例题练习编写者：审核者：邹俊飞一．导数的概念设0x是函数)(xfy定义域的一点，如果自变量x在0x处有增量x，则函数值y也引起相应的增量)()(00xfxxfy；比值xxfxxfxy)()(00称为函数)(xfy在点0x到xx0之间的平均变化率；如果极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在，则称函数)(xfy在点0x处可导，并把这个极限叫做)(xfy在0x处的导数，记作)(0'xf或0|'xxy，即)(0'xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000说明：1.函数f（x）在点0x处可导，是指0x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。2.x是自变量x在0x处的改变量，0x时，而y是函数值的改变量，可以是零。3.由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点0x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y=f（0x+x）－f（0x）；（2）求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；（3）取极限，得导数f’(0x)=xyx0lim。例题：利用定义求2)(xxf在x=2处的导数；练习：求24)(xxf在x=2处的导数二．导数的几何意义（求切线方程）函数y=f（x）在点0x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（0x，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（0x，f（x0））处的切线的斜率是f’（0x）。相应地，切线方程为y－y0=f/（0x）（x－0x）。例题：利用定义求2)(xxf在点（1,1）处的切线方程；练习：求3)(xxf在（2，4）处的切线方程三．几种常见函数的导数:2①0;C②1;nnxnx③(sin)cosxx;④(cos)sinxx;⑤();xxee⑥()lnxxaaa;⑦1lnxx;⑧1lglogaaoxex.四．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)'''vuvu法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uvvuuv若C为常数,则'''''0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''CuCu例题：求33)(2xxxf的导数；练习：求axxxf24)(的导数法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu‘=2''vuvvu（v0）。例题：求11)(xxxf的导数；练习：求24)(xxf的导数法则4：形如y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|X=y＇|U·u＇|X例题：求12)(xexf的导数；练习：求)12ln()(2xxxf的导数五．导数应用1.单调区间：一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，如果'f)(x0，则)(xf为增函数；如果'f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有'f0)(x，则)(xf为常数；例题：求6)(2xxxf的单调区间；练习：求22)(xxxf的单调区间2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；3曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例题：求593)(23xxxxf的极值；练习：求6)(2xxxf的极值3．最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数f)(x在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ)(x在(a，b)内的极值；②求函数ƒ)(x在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ)(x的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。例题：求53634)(23xxxxf在区间2,2上的最值；练习：求xexxf)(在2,0上的最值六．定积分1.概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝nif1＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：badxxf)(，即badxxf)(＝ninf1lim(ξi)△x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：dx0＝C；dxxm＝111mxm＋C（m∈Q，m≠－1）；x1dx＝lnx＋C；dxex＝xe＋C；dxax＝aaxln＋C；xdxcos＝sinx＋C；xdxsin＝－cosx＋C（表中C均为常数）。2.定积分的性质（1）babadxxfkdxxkf)()(（k为常数）；（2）bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；（3）bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(（其中a＜c＜b)。3．定积分求曲边梯形面积（几何意义）由三条直线x＝a，x＝b（ab），x轴及一条曲线y＝f（x）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积badxxfS)(。如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（ab）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形4DMNC＝babadxxfdxxf)()(21。4.微积分基本定理：一般地，如果y＝f（x）是在ba,上有定义的连续函数，f（x）在ba,上可导并且)()(,xfxF，则)()()(aFbFdxxfba（牛顿-莱布尼兹公式）例题：求积分（1）213dx（2）20)32(dxx练习：（1）312)4(dxxx（1）215)1(dxx综合基础训练1．函数313yxx有（）A.极小值-1，极大值1B.极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D.极小值-2，极大值22．函数344xxy在区间2,3上的最小值为（）A．72B．36C．12D．03．函数xxyln的最大值为（）A．1eB．eC．2eD．3104．函数xexxf)(的一个单调递增区间是（）(A)0,1(B)8,2(C)2,1(D)2,05．已知对任意实数x，有()()()()fxfxgxgx，，且0x时，()0()0fxgx，，则0x时（）A．()0()0fxgx，B．()0()0fxgx，C．()0()0fxgx，D．()0()0fxgx，6．若函数bbxxxf33)(3在1,0内有极小值，则（）（A）10b（B）1b（C）0b（D）21b7．若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（）A．430xyB．450xyC．430xyD．430xy58．曲线xye在点2(2)e，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e9．若'0()3fx，则000()(3)limhfxhfxhh（）A．3B．6C．9D．1210.函数93)(23xaxxxf,已知)(xf在3x时取得极值,则a=()（A）2（B）3（C）4（D）511.设()lnfxxx，若0'()2fx，则0x（）A.2eB.eC.ln22D.ln212.函数13)(23xxxf是减函数的区间为（）A．),2(B．)2,(C．)0,(D．（0，2）13.设函数1()21(0),fxxxx则()fx（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数14.已知对任意实数x有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x0时，f’(x)0，g’(x)0，则x0时（）Af’(x)0，g’(x)0Bf’(x)0，g’(x)0Cf’(x)0，g’(x)0Df’(x)0，g’(x)015.设曲线2axy在点（1,a）处的切线与直线062yx平行,则a()A．1B．12C．12D．1提升训练一、选择题1.已知函数f(x)=ax2＋c,且(1)f=2,则a的值为（）A.1B.2C.－1D.02.函数33xxy的单调递增区间是A.(1,1)B.(,1)C．(0,)D.(1,)3．已知函数()exfxx,则)(xf等于6A．exB．exxC．e(1)xxD．xxln4.关于函数()e2xfx，下列结论正确的是A．)(xf没有零点B．)(xf没有极值点C．)(xf有极大值点D．)(xf有极小值点5．函数()cosfxxx的导函数'()fx在区间[,]上的图象大致是（）6、已知2()2'(1)fxxxf=+，则'(0)f=（）A.0B.-4C.-2D.27．若函数)1,1(12)(3kkxxxf在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．3113kkk或或B．3113kk或C．22kD．不存在这样的实数k8．曲线sinyx与x轴在区间],0[上所围成的图形的面积是A．0B．2C．2D．49．等比数列{an}中a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…·(x－a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．21510．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)二、填空题11.函数sinxyx的导数为_________________．12.函数2cosyxx在区间[0,]2上的最大值是．13.dxeexx10)(=.14．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．三、解答题15.(本题满分12分)设)x(fy是二次函数，方程0)x(f有两个相等的实根，且2x2)x('f.（1）求)x(fy的表达式；7（2）求)x(fy的图象与两坐标轴所围成图形的面积；（3）若直线tx（1t0）把)x(fy的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.16.(本题满分12分)已知cx2bxax)x(f23在2x时有极大值6，在1x时有极小值，（1）求c,b,a的值；（2）求)x(f在区间[－3，3]上的最大值和最小值.17．(本题满分14分)已知函数f(x)＝12x2＋lnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x1时，12x2＋lnx23x3.18、(本题满分14分)设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.(1)对于任意实数x,f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．819．已知函数()ln()afxxxaRx（1）求函数()fx的单调区间与极值点；（2）若对21[,2]aee，函数()fx满足对[1,]xe都有()fxm成立，求实数m的取值范围