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绝对值主讲：刘文峰专题简析•绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．•下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．•一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即,00,0,0aaaaaaìïï==íï-ïî当时当时当时•绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．•结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)|a+b|=|a|+|b|；(2)|ab|=|a||b|；(3)|a-b|=|b-a|；(4)若|a|=b，则a=b；(5)若|a|＜|b|，则a＜b；(6)若a＞b，则|a|＞|b|．解：(1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2、设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简|b-a|+|a+c|+|c-b|．•解：由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，•且有|c|＞|a|＞|b|＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．•再根据绝对值的概念，得•|b-a|=a-b，|a+c|=-(a+c)，|c-b|=b-c．于是有•原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．cb0ax图1－1例3、已知x-3，化简：|3+|2-|1+x|||．•分析：这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．•解：原式=|3+|2+(1+x)||(因为1+x＜0)•=|3+|3+x||•=|3-(3+x)|(因为3+x＜0)•=|-x|•=-x．例4、若的所有可能值是什么？•解：因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．•(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；•(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；•(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，•原式=1；•(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，•原式=-1．•所以的所有可能值是±3,±1•说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．0,||||||abcabcabc?+则||||||abcabc++例5、若|x|=3，|y|=2，且|x-y|=y-x，求x+y的值．•解：因为|x-y|≥0，•所以y-x≥0，y≥x．•由|x|=3，|y|=2可知，x＜0，•即x=-3．•(1)当y=2时，x+y=-1；•(2)当y=-2时，x+y=-5．•所以x+y的值为-1或-5．•例6、若a，b，c为整数，•且|a-b|19+|c-a|99=1，•试计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值．•解：a，b，c均为整数，•则a-b，c-a也应为整数，•且|a-b|19，|c-a|99为两个非负整数，和为1，所以只能是|a-b|19=0且|c-a|99=1，①•或|a-b|19=1且|c-a|99=0．②•由①有a=b且c=a±1，于是|b-c|=|c-a|=1；•由②有c=a且a=b±1，于是|b-c|=|a-b|=1．•无论①或②都有|b-c|=1，且|a-b|+|c-a|=1，•所以|c-a|+|a-b|+|b-c|=2．例7、若|x-y+3|与|x+y-1999|互为相反数，求的值。•解：依相反数的意义有|x-y+3|=-|x+y-1999|．•因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有|x-y+3|=0且|x+y-1999|=0．即2xyxy+-例8、化简：|3x+1|+|2x-1|．•分析：本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．•例如，化简|3x+1|，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们是分•两种情况加以讨论的，此时是一个分界点，类似地，对于|2x-1|而言，是一个分界点，为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点•标在数轴上，把数轴分为三部份(如图1－2所示)即，这样我们就可以分类讨论化简了。1133xx?与13x=-12x=1132-和1111,,3322xxx--??•说明：解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9、已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|，求y的最大值．分析：首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．•解：有三个分界点：-3，1，-1．•(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，•由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．•(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，•由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．•(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，•由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．•(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，•由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．•综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10、设a＜b＜c＜d，求|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值．•分析：本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用|x-a|，|x-b|，|x-c|，|x-d|的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．•解：设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则|x-a|表示线段AX之长，•同理，|x-b|，|x-c|，|x-d|分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求|x-a|，|x-b|，|x-c|，|x-d|之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．•因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：•所以当X在B，C之间时，距离和最小，•这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11、若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．•分析与解•要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有•2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有•|4-5x|=4-5x且|1-3x|=3x-1．•故x应满足的条件是•解之得：•此时，原式=2x+4-5x-(1-3x)+4=7450310xxì-?ïí-?ïî1435x＃•1．x是什么实数时，下列等式成立：•(1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|；•(2)|(7x+6)(3x-5)|=(7x+6)(3x-5)．•2．化简下列各式：•(1)•(2)|x+5|+|x-7|+|x+10|．•3．若a＋b＜0，化简|a+b-1|-|3-a-b|．•4．已知y=|x+3|+|x-2|-|3x-9|，求y的最大值．||xxx-•5．设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，•其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？•6．已知a＜b，求|x-a|+|x-b|的最小值．•7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果|a-b|+|b-c|=|a-c|，•那么B点应为()．•(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．