Lyapunov稳定性

第三章Lyapunov稳定性理论1.Lyapunov稳定性的定义2.Lyapunov稳定性的定理3.线性系统Lyapunov稳定性分析4.非线性系统Lyapunov稳定性分析5.应用实例：在SSO/LFO中的应用1、Lyapunov稳定性的定义控制系统的首要条件：稳定线性定常系统：Nyquist稳定判据，Routh判据等线性时变与非线性：Lyapunov第二法（无需求出系统的解，但构造Lyapunov函数困难）逐点法与域的方法1、Lyapunov稳定性的定义000000(,)(),,(),,XftXtttXXtttX系统状态方程：方程的解：系统初始状态：00XXX•系统状态方程的解状态空间中的一条轨迹（曲线）。1、Lyapunov稳定性的定义(,)0(,)eeftftAXAA：：非奇异：系统只有一个平衡状态奇异：系统有无穷多个平衡平衡状态线性定常系统非线状态：可能有一个或性系统多个平衡态XXX•系统的平衡状态1、Lyapunov稳定性的定义(,)0(0,)0eeftft坐标变换：0XX•坐标变换主要研究系统在平衡（坐标原点）状态的稳定性。1、Lyapunov稳定性的定义2221122eeenenXkxxxxxxeXX-X•超球域（欧几里德范数）n＝2：圆；n＝3：球。1、Lyapunov稳定性的定义•Lyapunov意义下的稳定性00000(,)0(,)0(,,)eeetXfXttXtXt若系统对于任意选定的，存在一个实数，使得当时，恒系统的平衡状态是稳定的。若与无关，则称有，则称是定的：一致稳。XXX1、Lyapunov稳定性的定义000()()(,,)eeSXStXt：：XX•Lyapunov意义下的稳定性()()()()SSSS稳定平对于任意球域，总存在，从出发的轨迹不离开衡状态：。ex()S()S1、Lyapunov稳定性的定义•Lyapunov意义下的稳定性0()lim,,eexXSXtt渐近稳定的平衡状是稳定的，且从出发的轨迹最后都收敛到附近，即：（态：是任意微量）。0eXXex()S()S()S()S()S()S()S()SeXeXeX0X0X0X0,,tt0X0,,tt0X0,,tt0X0X轨迹(a)(b)(c)1、Lyapunov稳定性的定义•Lyapunov意义下的稳定性对所有的状态，即状态空间中所有的点，从这些状态出发的轨迹都大范围渐近稳定：是渐近稳定的。1、Lyapunov稳定性的定义•Lyapunov意义下的稳定性()()SS无论取多小，从出发的轨迹总有脱离开不稳定：的。ex()S()S1、Lyapunov稳定性的定义•Lyapunov意义下的稳定性ex()S()Sex()S()Sex()S()S1、Lyapunov稳定性的定义•标量函数的正定性0,()0(0)0()0()()()XVXVVXVXVXVX正定正半定负定对所有域内的状态：：；：：-为正定：-为正半定：无论取多小，负半定不定可正可负1、Lyapunov稳定性的定义•判断以下标量函数的正定性22121222123123221212321212212212()[](2)()()[](3)()[](4)()()[](5)()[]TTTTTVXxxXxxVXxxxXxxxVXxxXxxxVXxxXxxVXxxxXxx(1)：，：，：，：，：，1、Lyapunov稳定性的定义•Sylvester准则：判断二次型标量函数的正定性11121121222212121112121222111211212212()[]0,0()(,0)nnnnnnnnnnnnnnpppxpppxVxxxpppxPPppppppppppppppVXPVX对于：其中：为实对称矩阵，当的所为正定；若的所有主子行列式为有主子行列非负，则：式为正，即则：为正半TXXPX定。2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov第一法111122221212(,)0()(,)eennnnnnXXXfXtXXAXXfffxxxfffftxxxfffxxx系统：，平衡点：线性化：XAX2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov第一法(,)()()0eeXfXtXXAXXAXX系统：，在平衡点处线性化：1、如果的全部特征值都具有负实部，则系统在平衡点处是稳定的，而且系统的稳定性与高阶导数无关；2、如果有一个特征值具有正实部，不稳定；3、如果含有零特征值，与高阶导数相关，若，系统处于临界稳定状态。2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov第二法基本思路：系统能量衰减→系统将达到静止状态如果存在渐近稳定平衡点，则在平衡点处衰减到最小Lyapunov函数（能量函数）：V(X,t)或V(X)无需求解系统的状态方程2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov稳定性定理-1(,)(0,)0(,)(,)2(,)(,)XfXtftVXtVXtVXtXVXt系统：，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数，且1、为正定、为负定则系统在平衡点是一致渐近稳定的；若随着，有，则是大范围一致渐近稳定的。2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov稳定性定理-10增加0X1x2xV1Vc2Vc3Vc321ccc2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov稳定性定理-122121122221212()()xxxxxxxxxx分析系统平衡点的稳定性：2212()VXxx选取：2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov稳定性定理-12212()VXxx0增加0X1x2xV1Vc2Vc3Vc321ccc()()VXXVXX表示状态到状态空间原点的距离随时间推移状态趋向原点的速度2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov稳定性定理-200000(,)(0,)0(,)(,)2(,)[(,,),]00XfXtftVXtVXtVXtVtXtttXtt系统：，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数，且1、为正定、为负半定3、对任意及，在时不恒等于，则系统在平衡点是大范围一致渐近稳定的。2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov稳定性定理-212212xxxxx分析系统平衡点的稳定性：221222212121()12()()22VXxxVXxxxx、选取：、选取：2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov稳定性定理-22212()VXxx1x2x0A0X3Vc1c2c2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov稳定性定理-3(,)(0,)0(,)(,)2(,)XfXtftVXtVXtVXtX系统：，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数，且1、为正定、为负半定，但在原点外某处恒等于0则系统在平衡点是在Lyapunov意义下稳定的，但非渐近稳定，在这种情况下，系统保持在等幅振荡状态上。2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov稳定性定理-31221xkxxx分析系统平衡点的稳定性：2212()(0)VXxkxk选取：2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov稳定性定理-4(,)(0,)0(,)(,)2(,)XfXtftVXtVXtVXt系统：，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数，且1、在原点附近的邻域内为正定、在同一邻域内也是正定的则系统在平衡点是不稳定的。2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov稳定性定理-412212xxxxx分析系统平衡点的稳定性：2212()VXxx选取：2、Lyapunov稳定性定理•Lyapunov第二法能够找到Lyapunov函数（能量函数）并判断出系统是稳定的，则系统必为稳定；若判断出系统是不稳定的，不能就此判断系统肯定不稳定。2、Lyapunov稳定性定理12212xxxxx分析系统平衡点的稳定性：2212()2VXxx选取：3、线性系统的Lyapunov稳定性分析•线性定常系统的Lyapunov稳定性分析()TTXAXQPAPPAQVXXPX系统：，其在原点大范围渐近稳定的充要条件是：给定一个正定的实对称矩阵，有一个正定的实对称矩阵存在，且：则为系统的Lyapunov函数。3、线性系统的Lyapunov稳定性分析•确定使系统渐近稳定的K的范围2x1x3xr1Ks12s1s4、非线性系统的Lyapunov稳定性分析线性系统：局部渐近稳定＝大范围渐近稳定；非线性系统：大范围不是渐近稳定，但在局部可能是渐近稳定。4、非线性系统的Lyapunov稳定性分析20.520xxxx两个奇点：(0,0)(-2,0)0xx2442-2-4-4-2找出原点周围最大范围内满足稳定条件的能量函数。4、非线性系统的Lyapunov稳定性分析•克拉索夫斯基方法•变量梯度法•Lure型Lyapunov函数4、非线性系统的Lyapunov稳定性分析•Lure非线性控制系统T()xAxBFσσCx即先将系统的非线性部分孤立出来，将其视为余下线性系统的反馈控制，这就使得该非线性系统具有反馈控制系统的形式。寻找使这个反馈控制系统在不确定性约束条件下具有绝对稳定性的充分必要条件的问题就是著名的鲁里叶问题。4、非线性系统的Lyapunov稳定性分析•Lure非线性控制系统σTT0TTT0011()=+()d212()=+()d+2d2VqVqnmσσxxPxFσσxxPxFσσEσ、、•逐点法•域的方法2212()VXxx0增加0X1x2xV1Vc2Vc3Vc321ccc()()VXXVXX表示状态到状态空间原点的距离随时间推移状态趋向原点的速度4、非线性系统的Lyapunov稳定性分析-0.7-0.5-0.3-0.10.10.30.50.7-0.4-0.200.20.455qE554、非线性系统的Lyapunov稳定性分析5、应用实例：在SSO中的应用•次同步谐振SSR:subsynchronousresonance•次同步振荡SSO:subsynchronousoscillation•1970和1971年，美国mohave电厂两台大型机组的大轴损坏，线路电流中包含30.5Hz的振荡分量，与轴系二阶固有振荡频率互补。•汽轮发电机带串联补偿，SSR，轴系扭振•各种开关操作、HVDC、PSS、SVC等都可能引起，SSO•我国：1980年代发生了几次；目前比较严重，尤其是TCSC的线路5、应用实例：在SSO中的应用SSR/SSOEXCeTGENLPBLPAIPHP5、应用实例：在SSO中的应用•IEEE工作组•第一标准模型G1T-1滤波器∞RXLXSYSXFXFXCABSSR/SSO5、应用实例：在SSO中的应用•SSR/SSOIEEE第二标准模型G1T-1∞RL1XL1RSYSXSYSXCRL2XL2G1T-1G2T-2∞RXLXCRSYSXSYS5、应用实例：在SSO中的应用Lyapunov第二法•基于鲁里叶型Lyapunov函数的电力系统次同步谐振稳定运行域的分析HPLPLPALPBGENEXCD1M1D2M2D3M3D4M4D5M5D6M6k1k2k3k4k5SSR的IEEE第一基准轴系模型：D1-D6:分别为对应轴系的自阻尼系数；k1-k5:为相邻两段轴系间的弹性系数；M1-M6:分别为对应轴系的转动惯量******111**d()/d()()d()/d(1)iiiiiiiiiiiibiMtTDkkt