1.4-拉普拉斯展开定理

线性代数第一章行列式1.4拉普拉斯展开定理复习内容第四节※一行一列展开：1212jjiiinjnaAaAaAijijD01212jjnnjAkkAAk1DD1为将D中的第j行依次换为k1,k2,…,kn的行列式。1212jjiininjaAaAaAD01212jjnjnAAAkkk2DD2为将D中的第j列依次换为k1,k2,…,kn的行列式。ijij1.4.1拉普拉斯定理（Laplace定理）定义位于这些行和列交叉处的k2个元素，按照原来的顺序行标、列标.在n阶行列式D中,任意取定k行k列(1≤k≤n)构成一个k阶行列式N，称为D的一个k阶子式.划去这k行k列，余下的元素按照原来的顺序构成一个n-k阶行列式，称为N的余子式.记为M。称1212(1)kkiiijjjAM为子式N的代数余子式。1212,,,,,,,kkiiijjj分别为k阶子式在D中的其中②子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质.※①n行列式共有个k阶子式.2knC定理2（拉普拉斯定理）在n阶行列式ijaD中任意取定了k行(k列）(1≤k≤n－1)，由这k行(列)元素组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。这个定理也就是说:在D中任取k行（列）后，得到的子式为12,,,knCNNN，它们的代数余子式分别为12,,knCAAA，则1122kknnCCDNANANA证明略。②注：①行列式按一行(列)展开是该定理中时的特殊情况。nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD111111111111000011111111,knkkknnnaabbaabb1111111111110000knkkkkknnnnnaaccaaccDbbbb11111111,knkkknnnaabbaabb③1111111111110000mmmmnmnnnnnmaaaaDbbccbbcc?11111111(1),mnmnmmmnnnaabbaabb如47023301212002300,12123721233312121232321例1求行列式2354023021230110D24,rrD解2423(1)(1)(1)(2)224232311例2计算2nabababDcdcdcdabcdnabcd()nadbc每次按第一、最后一行展开解abcdabcdD1.4.2行列式的乘积定理1.4两个n阶行列式的乘积：111211112121212222221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaAabbbbbbBbbaab111niiiab11121naaa11211nbbb211niiiab11inniiba121niiiab12inniiba221niiiab11niiniab1innniiba21niiniab111iniibaAB与行列式的值相等，即.ABAB矩阵的行列式表示矩阵乘积的行列式表示证明＊设ijnAa,,jniBb构造2n阶行列式111212111121212221222212000000000100010001nnnnnnnnnnnnaaaaabbbbbbbaaabaDb由拉普拉斯定理知：.DAB下证D＝│AB│111121212221121212212122100010001nnnnnnnnnnnnbbbbbbaaaaDbbaaaaba11121naaa11111211nnnkkkkkkkkknaaabbb00……012212211nnnkkkkkkkkknaaabbb00……011121kknknknnnkkknkknbaaabb00……021222naaa12nnnnaaaAB的积(1)nAB2(1)n(1)(1)nnABAB12203453AB例11220,,3453ABAB(2)612.968412则861412例18设,bcdbdcAcaaabadbdc求A解因为a4系数为正，又TbdbadcacAAdbdcbabcdcdcdabacabcdbaa2222abcd00002222abcd00002222abcd00002222abcdTAA22222Aabcd422222abcdAa40ABABBA【小结】1.拉普拉斯定理2.方阵积的行列式下节课内容：1.5克莱姆法则