高中数学错题集(二)

第1页（共50页）高中数学错题集（二）一．选择题（共4小题）1．“m=1”是“直线mx+y+1=0和直线x+my=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．椭圆+=1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围（）A．（0，）B．[，1）C．（0，]D．[，1）3．已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF1F2的面积为9，则b=（）A．3B．6C．3D．24．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=4外，则直线ax+by=4与圆O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定二．填空题（共15小题）5．在平面直角坐标系xOy中，直线l：x﹣y+3=0与圆O：x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点．若+2=，且点C也在圆O上，则圆O的半径r=．6．如图，点C为半圆的直径AB延长线上一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若，则△PAC的面积的最大值为．7．已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l：x+y﹣6=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C使得：∠BAC=60°，则点A的横坐标x0的取值范围是．8．若实数a，b，c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，已知点N（3，3），则线段MN长度的最大值是．9．已知直线l1：ax﹣y+2a+1=0和l2：2x﹣（a﹣1）y+3=0（a∈R），若l1⊥l2，则a=．10．已知直线l过点P（5，10），且原点到它的距离为5，则直线l的方程为．11．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为．第2页（共50页）12．在平面直角坐标xOy中，设圆M的半径为1，圆心在直线2x﹣y﹣4=0上，若圆M上不存在点N，使NO=NA，其中A（0，3），则圆心M横坐标的取值范围．13．如图平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为a，过点A2作圆A1的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆于点Q．则=．14．直线xcosθ+y﹣2=0的倾斜角的范围是．15．直线x+a2y+6=0和（a﹣2）x+3ay+2a=0无公共点，则a的值为．16．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．17．圆x2+y2=1上至少有两点到直线y=kx+2的距离为，则直线l的斜率k的范围为．18．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．19．已知半椭圆+=1（y≥0，a＞b＞0）和半圆x2+y2=b2（y≤0）组成的曲线C如图所示．曲线C交x轴于点A，B，交y轴于点G，H，点M是半圆上异于A，B的任意一点，当点M位于点（，﹣）时，△AGM的面积最大，则半椭圆的方程为．三．解答题（共11小题）20．已知圆x2+y2=16与圆（x﹣4）2+（y+3）2=r2在交点处的切线互相垂直，求实数r的值．第3页（共50页）21．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为5，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得A，B关于过点P（﹣2，4）的直线l对称？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．22．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A（1，0）．（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；（2）若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．23．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．24．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若，求实数k的值；（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．25．如图，已知椭圆+=1（a＞0）上两点A（x1，y1），B（x2，y2），x轴上两点M（1，0），N（﹣1，0）．（1）若tan∠ANM=﹣2，tan∠AMN=，求该椭圆的方程；（2）若=﹣2，且0＜x1＜x2，求椭圆的离心率e的取值范围．26．椭圆C：+=1（a＞b＞0）．第4页（共50页）（1）若椭圆C过点（﹣3，0）和（2，）．①求椭圆C的方程；②若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．27．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M关于直线y=x+1的对称点在圆x2+y2=1上，求m的值．28．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．29．已知圆O：x2+y2=2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F，若P是圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x=﹣2于点Q．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P的坐标为（1，1）求证：直线PQ与圆O相切；（Ⅲ）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．30．已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．第5页（共50页）第6页（共50页）高中数学错题集（二）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2013春•和平区校级期末）“m=1”是“直线mx+y+1=0和直线x+my=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有【专题】规律型．【分析】结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当m=1时，两直线方程为x+y+1=0和x+y=0，满足直线平行．当m=0时，两直线方程为y+1=0和x=0，此时两直线不平行．当m≠0时，若两直线平行，则，即m2=1，解得m=±1．∴“m=1”是“直线mx+y+1=0和直线x+my=0互相平行”的充分不必要条件．故选A．【点评】本题主要考查直线平行的等价条件，以及充分条件和必要条件的应用．2．（2012秋•柯城区校级期中）椭圆+=1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围（）A．（0，）B．[，1）C．（0，]D．[，1）【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆+=1的焦点在x轴上，确定a的范围，表示出椭圆的离心率，利用基本不等式，可得结论．【解答】解：∵椭圆+=1的焦点在x轴上，∴5a＞4a2+1∴∵椭圆的离心率为=≤=（当且仅当，即a=时取等号）第7页（共50页）∴椭圆的离心率的取值范围为（0，]故选C．【点评】本题考查椭圆的标准方程与离心率，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．3．（2016秋•蕲春县期中）已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF1F2的面积为9，则b=（）A．3B．6C．3D．2【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，利用⊥及△PF1F2的面积为9列式求得|PF1||PF2|=18．再由勾股定理及椭圆定义即可求得b．【解答】解：如图，∵⊥，∴△PF1F2为直角三角形，又△PF1F2的面积为9，∴，得|PF1||PF2|=18．在Rt△PF1F2中，由勾股定理得：，∴，即2（a2﹣c2）=|PF1||PF2|=18，得b2=a2﹣c2=9，∴b=3．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义及余弦定理在解焦点三角形问题中的应用，是中档题．4．（2015秋•福建校级期末）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=4外，则直线ax+by=4与圆O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；数学模型法；直线与圆．第8页（共50页）【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=4的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】解：∵点M（a，b）在圆O：x2+y2=4外，∴a2+b2＞4，∴圆心（0，0）到直线ax+by=4的距离：d=＜2=r，∴直线ax+by=4与圆O相交．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用，是基础题．二．填空题（共15小题）5．（2012秋•鼓楼区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x﹣y+3=0与圆O：x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点．若+2=，且点C也在圆O上，则圆O的半径r=3．【考点】向量加减混合运算及其几何意义；直线与圆相交的性质．菁优网版权所有【专题】平面向量及应用．【分析】联立直线与圆的方程即可得到根与系数的关系，再利用已知向量关系式，即可得出点C的坐标满足的关系式，代入圆的方程又得出点A，B的坐标的关系式，联立即可解出．【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2）．联立x﹣y+3=0与圆O：x2+y2=r2（r＞0），消去y得到关于x的一元二次方程2x2+6x+9﹣r2=0，∵直线l与圆O相较于A、B两点，则△=36﹣8（9﹣r2）＞0．（*）∴x1+x2=﹣3，x1•x2=．设点C（x0，y0）．∵+2=，且点C也在圆O上，（x1，y1，）+2（x2，y2）=（x0，y0）．又∵y1=x1+3，y2=x2+3．∴可得：代入圆O的方程得（）2+（）2=r2，化为（x1+2x2）2+（x1+2x2+9）2=3r2，再与x1+x2=﹣3，x1•x2=联立第9页（共50页）消去x1，x2化为r2=18，满足（*）．故答案为：3【点评】熟练掌握直线与圆相交问题变得解题模式、根与系数的关系、向量相等、方程的思想方法是解题的关键．6．（2013秋•如东县期末）如图，点C为半圆的直径AB延长线上一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若，则△PAC的面积的最大值为．【考点】圆的切线的性质定理的证明．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（﹣，0）为圆心，以为半径的圆，由此能求出△PAC的面积的最大值．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，∵AB=BC=2，∴C（3，0），设P（x，y），∵过动点P作半圆的切线PQ，，∴=，整理，得x2+y2+3x﹣6=0，∴点P的轨迹方程是以（﹣，0）为圆心，以r==为半径的圆，∴当点P在直线x=﹣上时，△PAC的面积的最大，∴（S△PAC）max==．故答案为：