高中数学减少解析几何运算量的若干方法

用心爱心专心减少解析几何运算量的若干方法在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。一、回归定义，以简驭繁圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。例1、在面积为1的ΔPMN中，tg∠PMN=21,tg∠2MNP,建立适当的坐标系，求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程(93年高考题)分析：在该题的题设条件中，其实是给出了ΔPMN的两内角的大小及它的面积。因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为12222byax，则由椭圆定义有PNPMa2，MNc2，过点P向x轴作垂线，垂足为A，tg∠2MNP，tg∠2PNA。由平面几何知识有:.,121,2,21MNANAMPAMNANPAMAPA.33,334,3,332ANAMMNPA.315,3152PNPM152PNPMa,,215a4152a，32MNc，23c，3222cab。所求的椭圆方程为1315422yx说明：在上述解题过程中，PMPN是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量的关键。用心爱心专心例2、长度为a的线段AB的两端点在抛物线2x=2py(a≥2p0)上运动，以AB的中点C为圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径（85年湖北省六市高考预选题）。分析:这里其实就是要求定长弦AB的中点C到准线的最小距离。由于AB中点到准线的距离等于AB两端点到准线的距离的算术平均值，所以问题就进一步转化为求A、B两点到准线距离之和的最小值。由抛物线的定义知：A、B两点到准线的距离分别等于它们到焦点的距离，所以当线段A、B过焦点时，A、B两点到焦点的距离之和取得最小值a，这时A、B两点到准线的距离之和也取得最小值a，所以点C到准线的距离取得最小值2a。解：如图2，过弦AB的两端分别作准线的垂线，垂足为G、H,又设圆C与抛物线的准线切于D,设抛物线的焦点F,连CD、AF、BF。由抛物线的定义，AFAG，且.BFBHBHAGCD21BFAF21≥AB2121a。上式中的等号当且仅当AB过焦点F时成立。所以圆C的最小半径是21a.说明：因为过抛物线焦点的弦中，弦长最小的是通径（即过焦点且与对称轴垂直的弦），由于通径长为p2，所以抛物线的定长弦的长度a大于等于p2时，本例的上述解法才成立，如果pa2时，弦AB就不可能经过抛物线的焦点，这时应该是当AB与y轴垂直时，AB中点C到准线的距离最小。设AB所在直线方程为my，将它代入抛物线方程pyx22，得：pmx22，∴pmx2，∴apmAB22∴pam82，∴),0(mC，故点C到准线py的距离为pap82。所以这时圆C的最小半径为pap82例3、设ABC是曲线1xy上三点，求证：△ABC的垂心00,yxH也在该曲线上。分析：证垂心在曲线1xy上，故只需求00yx之值，而无需求0x、0y。解：111,xxA、221,xxB、331,xxC。则,132xxkBC.32xxkAH从而知:AH11132xxxxxy同理，:BH.212132xxxxxy图2用心爱心专心故有20132010321011xxxxxyxxxxxy413102203211032101yxxxxxxxxxxxyx，43并消去321xxx得：2001102211xxyxxxyx120012xxyxxx21xx100yx二、设而不求，整体运算在某些解析几何问题中，灵活把握曲线方程的特点，采用设而不求、整体代入、整体运算等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感到整体思维的和谐美。例4、椭圆141622yx上有两点P、Q，O是原点，若OP、OQ斜率之积为41。（1）求证：|OP|2+|OQ|2为定值。（2）求PQ的中点M的轨迹方程。解：（1）设P、Q的两点坐标分别为11,yxP、Q22,yx,P、Q分别在椭圆上，且41OQOPKK，.41,1416,1416221122222121xyxyyxyx3.42,1641,164212122222121xxyyxyxy21得4,1616162221222122221xxxxyy（3）代入（4）得162221xx，（1）+（2）得441822212221xxyy22OQOP2022222121yxyx。（2）设P、Q的中点M的坐标为Myx,，则有xxx221，yyy221，（1）+（2）+（3）2得221222124yyyy212221232xxxx，221221324xxyy。3216422yx即：12822yx，PQ中点M的轨迹方程为12822yx三、充分运用图形几何性质，简化（或避免）计算解析几何中，曲线或图形都具有某些特殊的几何性质，若能发掘并充分运用这些几何性质，往往能简化运算或避免运算。例5、已知圆42:22yxO，动圆轴右侧在yM与y轴相切，又与圆O外切，过0,4A作动圆M的切线AN，求切点N的轨迹。解：设动圆M与y轴切于点B，动圆M与定圆O切用心爱心专心于点C，切点在OM，OAMB//，故∠MBC=∠ACO，从而∠MCB=∠CAO，B、C、A共线。由切割线定理，ABACAN2（9）。又在Rt△AOB中，OC⊥AB，故162AOABAC（10）。由（9）、（10），知4AN。故N的轨迹为圆16422yx（0,0,yx）说明：该题解题过程简捷，运算量小，主要得益于利用平几知识推导出4AOAN例6、已知0,3A是圆2522yx内的一定点，以A为直角顶点作直角△ABC，B、C在圆上。求BC的中点M的轨迹方程。解：如图所示，设yxM,，连结MAOMOC,,在Rt△ABC中，M是BC的中点，OM⊥BC，MCBCMA21。在Rt△OCM中，222OCOMMC。222OCOMMA。2532222yxyx。M点的轨迹方程为08322xyx。说明：这里利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，因此有CMAM222OCOMCM。从而不必进行复杂的运算就可将问题解决。在初中平面几何中详细介绍过直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的一些性质，所以在解有关直线与圆、圆与圆的有关问题时更要注意充分利用图形的几何性质，这样必将大大减少运算量。四、用“降维法”减少计算量变量的个数也称“维数”。确定直角坐标平面上的点只需两个量，因而直角坐标平面称为二维空间；但确定直线上的点只需一个量，直线称为一维空间。某些解析几何问题能通过投影等方法化为只与横坐标（或纵坐标）有关的问题，这种把高维空间问题转化为低维空间的方法称为降维法。例7、已知；直线mxy和曲线01422yyx交于A、B两点，P是这条直线上的点，且2PBPA。求当m变化时，点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（85年上海考题）解：设yxP,、11,yxA、22,yxB在y轴上的射影分别是P、A、B，sinPAAP，sinPBBP，这里是直线mxy的倾斜角，45。2PBPA，1BPAP，即121yyyy，（此式只与y有关）也就是121212yyyyyy（1）将myx代入014222yyx得：0122322mmy（2）23221myy，131221myy。将它们代入图4用心爱心专心（1），得113123222mmyy（3）再将xym代入（3）以消去m，即得轨迹方程314222yyx。由于方程（2）当且仅当1342222mm≥0时有实根（即直线与二次曲线有交点），因此2/231≤m≤2/231。所以所求的轨迹是夹在两条平行直线2/231xy和2/231xy之间的椭圆131622yx的一部分，以及点1,0。例8：如图，给出定点0,aA和直线1:xl，B是直线l上的动点，AOB的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。解：设点C的坐标为yx,，则AC的方程为：axaxyy，于是Baaxy1,1。由角平分线性质知：OBOACBAC。设C在x轴上的射影为C，于是AC与CB之比等于它们在x轴上的射影之比，即DCCACBAC1xxa。又由于OB22211axay∴有222111axayaxxa。222222111axayaxxa2222211xaayxa011212222yaxaaxa012122yaxaxa∴点C的轨迹方程为：012122yaaxxa。（ⅰ）当10a时，点C的轨迹为椭圆；（ⅱ）当1a时，点C的轨迹为抛物线（ⅲ）当1a时，点C的轨迹为双曲线。说明：将AC与CB之比转化为它们在轴上的射影之比，从而转化为A、C、B三点横坐标有关的比值，是该例解题过程中能够减少运算量的关键。五、利用韦达定理化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由韦达定理求出两根间的关系或有关线段长度间的关系。后者往往计算量小，解题过程简捷。例9、一直线截双曲线和它的渐近线，证明夹在渐近线与双曲线间的线段相等。（《数学通报》80年第6期22P）分析：如图，要证夹在渐近线间的线段相等，即证CDAB，只要证用心爱心专心CDABxxxx，即证：DACBxxxx，于是只要证：AD的中点与BC的中点重合即可证明：如图设双曲线方程为222222bayaxb（0,0ba），则它的渐近线方程为02222yaxb设直线mkxy与双曲线的两支和它的两条渐近线交于（从左到右）11,yxA、22,yxB、3,3yxC、44,yxD。由mkxy，222222bayaxb消去y得：0222222222mbamkxaxkab。设其两根为1x、4x，依韦达定理，有：2222412kabmkaxx。由mkxy，02222yaxb消去y得：022222222mamkxaxkab。设其两根为2x、3x，依韦达定理，有：2222322kabmkaxx。因此，3241xxxx，即3412xxxx。由于1221xxkAB，4321xxkCDCDAB。当直线垂直于x轴时结论显然成立。说明：A、D