2-2-3--独立重复试验与二项分布(新)

§2.2.3独立重复试验与二项分布设事件A和事件B，且P(A)0,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。记作P(B|A).(3).条件概率计算公式:()()(|)()()nABPABPBAnAPA注意条件：必须P(A)0(2).条件概率(1)互斥事件不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件P（A+B）=P(A)+P(B)(4)相互独立事件同时发生的概率公式：这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An）两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生的概率为：)()()(BPAPBAP那么求概率还有什么模型呢？思考:分析下面的试验，它们有什么共同特点？⑴投掷一个硬币投掷5次;⑵某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次;(3)一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黑球），有放回地依次从中抽取5个球;(4)生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件.它们共同特点：1).每次试验是在同样的条件下重复进行的;2).各次试验中的事件是相互独立的；3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生；4).每次试验某事件发生的概率是相同的.n次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验。独立：每次试验都独立；重复：重复了n次。1、每次试验是在同样条件下进行；2、每次试验都只有两种结果:发生与不发生；3、各次试验中的事件是相互独立的；4、每次试验,某事件发生的概率是相同的。独立重复试验的基本特征：1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上;2).某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次,其中6次击中;3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次抽取5个球,恰好抽出4个白球;×√×判断下列试验是不是独立重复试验：思考:投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？那么恰好出现0次、2次、3次的概率是多少?你能给出一个统一的公式吗？探究:探究投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验。用表示第i次掷得针尖向上的事件，用表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则(1,2,3)iAi1B1123123123()()().BAAAAAAAAA由于事件彼此互斥，由概率加法公式得123123123,AAAAAAAAA和1123123123()()()()PBPAAAPAAAPAAA22223qpqpqpqp所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是23.qp思考？上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类似地，连续掷3次图钉，出现次针尖向上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？(03)kk33(),0,1,2,3.kkkkPBCpqk仔细观察上述等式，可以发现30123()(),PBPAAAq21123123123()()()()3,PBPAAAPAAAPAAAqp22123123123()()()()3,PBPAAAPAAAPAAAqp33123()().PBPAAAp如果在1次试验中，事件A出现的概率为p,则在n次试验中，事件A恰好出现k次的概率为：knkknnppCkP)1()(（其中k=0，1，2，···，n）实验总次数事件A发生的概率发生的概率事件A事件A发生的次数独立重复试验的概率公式及结构特点：这种概率问题称为伯努利概型例1.在人寿保险行业中，很重视某一年龄段的投保的死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6，试问3个投保人中：（1）全部活到65岁的概率；（2）有2个活到65岁的概率；（3）有1个活到65岁的概率；（4）都活不到65岁的概率.解：设1个投保人能活到65岁为事件A，P(A)=0.6，3个投保人活到65岁相当于作三次独立重复试验，所以216.0)6.01(6.0)3(03333CP432.0)6.01(6.0)2(12233CP288.0)6.01(6.0)1(21133CP064.0)6.01(6.0)0(30033CP此时我们称随机变量X服从二项分布，记作:X01…k…np……00nnCpq111nnCpqkknknCpq0nnnCpq1012kknknPXkCppkn()(),,,,...,在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数是X，且在每次试验中事件A发生的概率是p，那么事件A恰好发生k次的概率是为于是得到随机变量X的概率分布如下：(q=1－p)二项分布XBnp~(,)是(p+q)n展开式第k+1项吗?注：展开式中的第项.()()kknknnnPkcpqqp是1k20.8.10,18;(.)28.(.)例某射手射击击中目标的概率是求这名射手在次射击中恰有次击中目标的概率结果保留两位有效数字至少有次击中目标的概率结果保留两位有效数字,~10,0.8.XXB解设为击中目标的次数则1088810110,880.810.80.30PXC在次射击中恰有次击中目标的概率为108109889910101010101010210,88=8+=9+10)0.810.80.810.80.810.80.68PXPXPXPXCCC在次射击中至少有次击中目标的概率为（例3.100件产品中有3件不合格品，每次取一件，有放回抽取3次，求取得不合格品件数X的分布列解：X的可能取值为0，1,2,3，由于是有放回地抽取3次，所以相当于作3次独立重复试验，设1次抽到不合格品为事件A,p(A)=0.03912763.0)03.01(03.0)0(3003CXP084681.0)03.01(03.0)1(2113CXP002619.0)03.01(03.0)2(1223CXP000027.0)03.01(03.0)3(0333CXPX0123p0.9127630.0846810.0026190.000027分布列为二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？1．两点分布是特殊的二项分布(1)p2．一个袋中放有N个求，其中M个红球，，依次从袋中取n个球，记下红球的个数.⑵如果是有放回地取，()(0,1,2,,)mnmMNMnNCCPmmlC(其中min(,)lMn则(,)MBnN⑴如果是不放回地取,则服从超几何分布.例4、已知一个射手每次击中目标的概率为，求他在三次射击中下列事件发生的概率。（1）命中一次；（2）恰在第三次命中目标；（3）命中两次；（4）刚好在第二、第三两次击中目标。35p12536125121255412518例5实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．⑴试求甲打完5局才能取胜的概率．⑵按比赛规则甲获胜的概率．1632116316381(2)记事件A“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”，记事件C=“甲打完5局才能取胜”．事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则DABC，又因为事件A、B、C彼此互斥，故()()()()()PDPABCPAPBPC1331816162．答：按比赛规则甲获胜的概率为12．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12．⑴甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负奎屯王新敞新疆∴甲打完5局才能取胜的概率222141113()()22216PC.例5、俗话说“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”设诸葛亮解出题目的概率是0.9，三个臭皮匠各自独立解出的概率都是0.6，皮匠中至少一人解出题目即胜出比赛，列出皮匠中解出题目人数的分布列，并计算诸葛亮和臭皮匠团队哪个胜出的可能性大？解：设皮匠中解出题目的人数为X，则X的分布列：解出的人数x0123概率P00330.60.4C11230.60.4C22130.60.4C33030.60.4C解1：（直接法）解2：（间接法）(1)(1)(2)(3)0.936PxPxPxPx至少一人解出的概率为：(1)1(0)PxPx310.40.9360.9360.9因为，所以臭皮匠胜出的可能性较大例6.某厂工人在2011年里有1个季度完成生产任务，则得奖金300元；如果有2个季度完成生产任务，则可得奖金750元；如果有3个季度完成生产任务，则可得奖金1260元；如果有4个季度完成生产任务，可得奖金1800元；如果工人四个季度都未完成任务，则没有奖金，假设某工人每季度完成任务与否是等可能的，求他在2011年一年里所得奖金的分布列．【解】该工人在2011年一年里所得奖金为X，则X是一个离散型随机变量，由于该工人每季度完成任务与否是等可能的，所以他每季度完成任务的概率等于12，所以P(X＝0)＝C04120124＝116，P(X＝300)＝C14121123＝14，P(X＝750)＝C24122122＝38，P(X＝1260)＝C3412312＝14，P(X＝1800)＝C44124120＝116.∴其分布列为X030075012601800P116143814116变式训练练习1.一名学生骑自行车上学，从他到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X为这名学生在途中遇到的红灯次数，求X的分布列；(2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．解：(1)将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是13且每次试验结果相互独立，故X～B(6，13)，所以X的分布列为P(X＝k)＝Ck6·(13)k·(23)6－k(k＝0,1,2，…，6)．∴X的分布列如下：X0123456P6472964243802431607292024342431729(2)η＝k(k＝0,1,2，…，5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，其概率为P(η＝k)＝(23)k·13，η＝6表示一路没有遇上红灯，故其概率为P(η＝6)＝(23)6，所以η的分布列为η0123456P1329427881162433272964729(3)所求概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(23)6＝665729.思考2解:练习3:某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9,如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数的分布列.解：的所有取值为：1、2、3、4、5”5“表示前四次都没射中(1)0.9P(2)0.10.9P2(3)0.10.9P3(4)0.10.9P4(5)0.1PP432150.90.10.920.10.930.10.940.1故所求分布列为:练习4：在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一个巨大的汽油罐。已知只有5发子弹，第一命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率为（1）求油罐被引爆的概率（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数X，求X得概率分布32243232)1(