一次函数存在性问题

一次函数存在性问题1如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=43x的图象交于点A，且与x轴交于点B.（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从原点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度沿x轴向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．ABOyxy=-x+7y=43x（备用图）ABOyxy=-x+7y=43x2如图12，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交与B、C两点，tan∠OCB=21.（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是41；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由.图123在直角坐标系中，点Ａ的坐标是（３，０），点Ｐ在第一象限内的直线y＝－x＋４上．设点Ｐ的坐标为（x，y）．（１）在所给直角坐标系（图10）中画出符合已知条件的图形，求△ＰＯＡ的面积Ｓ与自变量x的函数关系式及x的取值范围；（２）当Ｓ＝92时，求点Ｐ的位置；（３）若以Ｐ、Ｏ、Ａ、Ｑ为顶点构成平行四边形，请直接写出第四个顶点Ｑ的坐标．4如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=43x的图象交于点A，且与x轴交于点B.（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．lRPCABOyx4【答案】（1）根据题意，得y=-x+7y=43x，解得x=3y=4，∴A(3，4).令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）.（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4.lRPCABOyx由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得12(3+7)×4-12×3×(4-t)-12t(7-t)-12t×4=8整理,得t2-8t+12=0,解之得t1=2,t2=6（舍）当P在CA上运动，4≤t＜7.lxyOBACPR由S△APR=12×(7-t)×4=8，得t=3（舍）∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.②当P在OC上运动时，0≤t＜4.lxyOBACPRQ∴AP=（4-t）2+32，AQ=2t，PQ=7-t当AP=AQ时，（4-t）2+32=2(4-t)2,整理得，t2-8t+7=0.∴t=1,t=7(舍)当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,整理得，6t=24.∴t=4(舍去)当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2整理得，t2-2t-17=0∴t=1±32(舍)当P在CA上运动时，4≤t＜7.过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.DFElxyOBACPRQ设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.由cos∠OAC=AEAQ=ACAO，得AQ=53(t-4)．当AP=AQ时，7-t=53(t-4)，解得t=418.当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE=12AP得t-4=12(7-t)，解得t=5.当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于FAF=12AQ=12×53(t-4).在Rt△APF中，由cos∠PAF＝AFAP＝35，得AF＝35AP即12×53(t-4)=35×(7-t)，解得t=22643.∴综上所述，t=1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形.5【答案】解：（1）∵y=kx-1与y轴相交于点C，∴OC=1∵tan∠OCB=OCOB21∴OB=21∴B点坐标为：021，把B点坐标为：021，代入y=kx-1得k=2（2）∵S=y21OB∵y=kx-1∴S=1-x22121∴S=4121x（3）①当S=41时，4121x=41∴x=1，y=2x-1=1∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为41②存在.满足条件的所有P点坐标为：P1(1,0),P2(2,0),P3(2,0),P4(2,0).……………………………12分6答案1Ｓ＝12ＯＡ·y…………………………………………………………………４分＝12×３·y＝32y＝32（－x＋４）＝－32x＋６，即Ｓ＝－32x＋６，……………………………………………………………６分自变量x的取值范围为：０＜x＜４；………………………………………７分（２）∵Ｓ＝－32x＋６，当Ｓ＝92时，得－32x＋６＝92，……………………………………………………………８分解得x＝１，y＝－x＋４＝３∴点Ｐ的坐标为（１，３）…………………………………………………９分［或∵Ｓ＝32y，∴当Ｓ＝92时，得32y＝92，∴y＝３，∴－x＋４＝３，得x＝１，∴点Ｐ的坐标为（１，３）］（３）第四个顶点Ｑ的坐标为：Ｑ（x＋３，y）…………………………１０分或Ｑ（x－３，y）……………………………………………………………１１分或Ｑ（３－x，－y）．………………………………………………………１２分图示如下：其中Ｑ（x＋３，y）为图１；Ｑ（x－３，y）为图２与图３；Ｑ（３－x，－y）为图４与图５．图1图28解：（1）根据题意，得y=-x+7y=43x，解得x=3y=4，∴A(3，4).令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）.（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4.由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得12(3+7)×4-12×3×(4-t)-12t(7-t)-12t×4=8整理,得t2-8t+12=0,解之得t1=2,t2=6（舍）当P在CA上运动，4≤t＜7.由S△APR=12×(7-t)×4=8，得t=3（舍）∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.②当P在OC上运动时，0≤t＜4.图4图3图5lxyOBACPR∴AP=（4-t）2+32，AQ=2t，PQ=7-t当AP=AQ时，（4-t）2+32=2(4-t)2,整理得，t2-8t+7=0.∴t=1,t=7(舍)当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,整理得，6t=24.∴t=4(舍去)当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2整理得，t2-2t-17=0∴t=1±32(舍)当P在CA上运动时，4≤t＜7.过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.由cos∠OAC=AEAQ=ACAO，得AQ=53(t-4)．当AP=AQ时，7-t=53(t-4)，解得t=418.当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE=12AP得t-4=12(7-t)，解得t=5.当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于FAF=12AQ=12×53(t-4).在Rt△APF中，由cos∠PAF＝AFAP＝35，得AF＝35AP即12×53(t-4)=35×(7-t)，解得t=22643.∴综上所述，t=1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形.lxyOBACPRQDFElxyOBACPRQ