2019高考试题汇编理科数学---概率统计

1/10（2019全国1理）6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.516B.1132C.2132D.1116答案：A解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有62种，在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有36C种，所以36620526416CP.（2019全国1理）15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是.答案：0.18解答：甲队要以4:1，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：1221220.60.40.50.60.60.50.50.60.18CC.（2019全国1理）21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，(0,1,,8)ipi表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p，81p，11iiiipapbpcp(1,2,,7)i，其中(1)aPX，(0)bPX，(1)cPX．假设0.5，0.8．（i）证明：1{}(0,1,2,,7)iippi为等比数列；2/10（ii）求4p，并根据4p的值解释这种实验方案的合理性．答案：（1）略；（2）略解答：（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：1、1、0．得1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则(1)(1)PX；得1分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则(1)(1)PX；得0分时是都治愈或都未治愈，则(0)(1)(1)PX．则X的分布列为：（2）（i）因为0.5，0.8，则(1)0.4aPX，(0)0.5bPX，(1)0.1cPX．可得110.40.50.1iiiipppp，则110.50.40.1iiippp，则110.4()0.1()iiiipppp，则114iiiipppp，所以1{}(0,1,2,,7)iippi为等比数列．（ii）1{}(0,1,2,,7)iippi的首项为101ppp，那么可得：78714ppp，67614ppp，………………2114ppp，以上7个式子相加，得到76811(444)ppp，则886781111441(1444)143pppp，则18341p，再把后面三个式子相加，得23411(444)ppp，3/10则4423411844141311(1444)334141257ppp．4p表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为0.5，0.8，，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而41257p的确非常小，说明这种实验方案是合理的．(2019全国2理)5.演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数B.平均数C.方差D．极差答案：A解答：由吧，于共9个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5个，假设为a，去掉一头一尾的最低和最高分后，中位数还是a，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改变。(2019全国2理)18.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求(2)PX；（2）求事件“4X且甲获胜”的概率.答案：（1）0.5；（2）0.06解析：（1）2X时，有两种可能：①甲连赢两局结束比赛，此时10.50.40.2P；②乙连赢两局结束比赛，此时20.50.60.3P，∴12(2)0.5PXPP；（2）4X且甲获胜，即只有第二局乙获胜，其他都是甲获胜，此时0.50.60.50.40.06P.（2019全国3理）3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.5.0B.6.0C.7.0D.8.0答案：C解答：7.01006080904/10（2019全国3理）17.为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成BA,两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔溶度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图：记C为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到)(CP的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中ba,的值；（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.答案：见解析解答:（1）依题意得12.015.015.005.07.015.02.0aba，解得1.035.0ba.（2）05.4705.061.052.043.032.0215.07.5815.072.063.0515.041.0305.0得到甲离子残留百分比的平均值为4.05,，乙离子残留百分比的平均值为5.7.（2019北京理）17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：交付金额（元）支付方式（0,1000]（1000,2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的5/10人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】(Ⅰ)25；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；(Ⅱ)首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可.(Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可.【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：1003025540人，则：该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率4021005p.(Ⅱ)由题意可知，仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25，仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35，且X可能的取值为0,1,2.32605525pX，22321315525pX，32625525pX，X分布列为：X012pX6251325625其数学期望：61360121252525EX.(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。的6/10学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关.（2019天津理）16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）20243【解析】【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23，故2~3,3XB，从面33210,1,2,333kkkPXkCk.所以，随机变量X的分布列为：X0123P1272949827随机变量X的数学期望2()323EX.(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y，则2~3,3YB.且{3,1}{2,0}MXYXY.由题意知事件3,1XY与2,0XY互斥，7/10且事件3X与1Y，事件2X与0Y均相互独立，从而由(Ⅰ)知：()3,12,0PMPXYXY3,12,0PXYPXY(3)(1)(2)(0)PXPYPXPY824120279927243.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(2019江苏)5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.【答案】53【解析】【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的平均数为678891086，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63