第4讲函数及其表示1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).1.函数的概念(1)给定两个非空的A和B,如果按照某个对应关系f,对于A中数x,在B中都有确定的数y与之对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作,此时的x叫做自变量,集合A叫做函数的,集合C={f(x)|x∈A}叫做函数的_______且C⊆B.(2)函数有三个要素:_______、_______和__________.数集任意一个唯一y=f(x),x∈A定义域值域定义域值域对应关系2.函数的表示列表法:用_________的形式表示两个变量之间函数关系的方法,称为列表法.图象法:用_________把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图象法.解析法:一个函数的对应关系可以用自变量的_________表示出来,这种方法称为解析法.表格图象解析式3.分段函数分段函数的定义:在定义域的不同部分,有不同的_________的函数称为分段函数.4.映射的概念如果两个集合A与B之间存在着对应关系f,而且对于A中的__________元素,B中总有____________的元素y与之对应,就称这种对应是从到A到B的映射.对应法则每一个唯一确定1.函数是一种特殊的映射,映射不一定是函数.从A到B的映射,A,B若不是数集,则这个映射便不是函数.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的,其值域等于各段函数的值域的.并集并集1.考察下列图象:其中能够作为函数图象的是.解:抓住函数的定义进行判断.对每一个x,都有唯一确定的y与之对应才构成函数关系,表现在图象上为在定义域范围内与x轴垂直的直线与图象有且只有1个交点,由此可知,A,B,C都能作为函数图象,D不能作为函数图象.答案:A,B,C2.(2015·新课标卷Ⅱ)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a=_________.解:由f(x)=ax3-2x可得f(-1)=-a+2=4,所以a=-2.答案:-23.下列函数中,f(x)与g(x)表示同一函数是()A.f(x)=(x-1)0,g(x)=1B.f(x)=x,g(x)=x2C.f(x)=x2,g(x)=(x+1)2D.f(x)=|x|,g(x)=x2解:A的定义域不同,B的值域不同,C的对应法则不同,只有D的定义域、值域、对应法则都相同.答案:D4.(2015·陕西卷)设f(x)=1-x,x≥0,2x,x0,则f[f(-2)]=()A.-1B.14C.12D.32解:因为-2<0,所以f(-2)=2-2=14>0,所以f(14)=1-14=1-12=12.答案:C5.设f:x→x2是集合M到集合N的映射,若N={1,2},则M不可能是()A.{-1}B.{-2,2}C.{1,2,2}D.{-2,-1,1,2}解:由映射的定义知,集合M中的每一个元素在集合N中必须有唯一确定的元素与它对应,选项C中,22=4∉N,故选C.答案:C求函数的定义域求函数的解析式分段函数考点一·求函数的定义域【例1】(1)函数f(x)=11-x+lg(1+x)的定义域是()A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞)D.(-∞,+∞)(2)设函数f(x)=ln1+x1-x,则函数g(x)=f(x2)+f(1x)的定义域为____________.解:(1)要使f(x)有意义,则1-x≠0,x+10,解得x-1且x≠1.故函数f(x)的定义域为(-1,1)∪(1,+∞).(2)要使f(x)=ln1+x1-x有意义,则1+x1-x0,所以-1x1.则函数g(x)=f(x2)+f(1x)的定义域为-1x21,-11x1,所以x∈(-2,-1)∪(1,2).答案:(1)C(2)(-2,-1)∪(1,2)点评:求定义域的基本方法:①若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的,则它的定义域是各基本函数定义域的交集;②已知函数f(x)的定义域为D,则f[g(x)]的定义域为满足g(x)∈D的x的取值范围.【变式探究】1.(1)(2015·重庆卷)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是()A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)(2)(2016·黑龙江哈师大附中模拟)已知函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数y=f(x)+f(-x)的定义域是()A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-1,2]D.(-2,1]解:(1)要使函数有意义,只需x2+2x-30,即(x+3)(x-1)0,解得x-3或x1.故函数的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).(2)因为f(x)的定义域为[-1,2],要使函数y=f(x)+f(-x)有意义,则-1≤x≤2,-1≤-x≤2,解得-1≤x≤1.所以y=f(x)+f(-x)的定义域为[-1,1].考点二·求函数的解析式【例2】(1)(2016·浙江卷)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,则实数a=________,b=________.(2)已知f(1x+1)=x2+1x2+3x,则f(x)=______________.解:(1)先利用函数解析式将f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2的左边表示出来,再化简右边,然后利用多项式相等的条件求解即可.因为f(x)=x3+3x2+1,则f(a)=a3+3a2+1,所以f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2=(x-b)(x2-2ax+a2)=x3-(2a+b)x2+(a2+2ab)x-a2b=x3+3x2-a3-3a2.由此可得2a+b=-3,a2+2ab=0,a3+3a2=a2b.①②③因为a≠0,所以由②得a=-2b,代入①式得b=1,a=-2.(2)令t=1x+1,则x=1t-1(t≠1),于是f(t)=1t-12+11t-12+31t-1=1+(t-1)2+3(t-1)=t2+t-1(t≠1).所以f(x)=x2+x-1(x≠1).答案:(1)-21(2)x2+x-1(x≠1)点评:求函数解析式的常用方法:(1)待定系数法:若已知函数类型(如一次函数、二次函数、反比例函数及其他所有形式已知的函数),可用待定系数法;(2)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.【变式探究】2.(1)已知f(x+1)=x+2x,则f(x+1)=.(2)已知函数f(x)是一次函数,且f(8)=15,f(14),f(5),f(2)成等比数列,则f(x)=.解:(1)设u=x+1≥1,则x=(u-1)2,所以f(u)=(u-1)2+2(u-1)=u2-1,所以f(x)=x2-1(x≥1),所以f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0).(2)设f(x)=ax+b(a≠0),由f(8)=15,得8a+b=15,①又f(14),f(5),f(2)成等比数列,所以[f(5)]2=f(2)·f(14),得(5a+b)2=(14a+b)(2a+b)⇒3a2+6ab=0.因为a≠0,所以a=-2b,②由①②得a=2,b=-1,所以f(x)=2x-1.考点三·分段函数【例3】(2015·新课标卷Ⅰ)已知函数f(x)=2x-1-2,x≤1,-log2x+1,x1,且f(a)=-3,则f(6-a)=()A.-74B.-54C.-34D.-14解:因为x≤1时,f(x)=2x-1-2-2,所以由f(a)=-3知a1,所以-log2(a+1)=-3,所以a+1=8,所以a=7.所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-74.答案:A点评:(1)分段函数是一个函数,“分段求解”是解决分段函数的基本原则.(2)在求分段函数的值时,一定要注意自变量的值所在的区间,再代入相应的解析式,自变量的值不确定时,要分类讨论.【变式探究】3.(2017·山东卷)设f(x)=x,0x1,2x-1,x≥1.若f(a)=f(a+1),则f(1a)=()A.2B.4C.6D.8分析:先由f(a)=f(a+1)求出a,再求f(1a).求f(a)和f(a+1)时,将a,a+1代入分段函数的哪一个表达式中?这就必须依据分段函数的定义域对a进行分类讨论.解:若0a1,a+11,由f(a)=f(a+1)得a=2(a+1-1),所以a=14,所以f(1a)=f(4)=2×(4-1)=6.若a≥1,a+11,由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2(a+1-1),此方程无解.综上,f(1a)=6.答案:C1.函数的定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,都必须在定义域上进行,求函数的定义域,主要要掌握以下两种类型:(1)由解析式给出的函数,根据其定义域求出使函数有意义的自变量的取值范围.其主要依据是:①分式的分母不为0;②偶次方根的被开方数不小于0;③对数的真数大于0;④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1.(2)复合函数f[g(x)]的定义域:若f(x)的定义域为D,则满足g(x)∈D的x的集合是f[g(x)]的定义域.2.求函数的解析式主要掌握如下两种方法:(1)给出函数的特征,求函数的解析式,可用待定系数法,如函数是二次函数,可设函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a,b,c是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出a,b,c即可.(2)换元法求解析式,已知f[h(x)]=g(x),求f(x)的问题,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元求解.但用换元法时,要注意新元的范围.3.分段函数问题要分段求解.如求分段函数f(x0)时,首先要判断x0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系,当不能确定时,要注意分类讨论.点击进入WORD链接