两平面的夹角

1§3.1平面的方程第三章平面与空间直线§3.4空间直线的方程§3.5-6直线与平面直线与点的相关位置§3.7空间两直线的相关位置§3.8平面束§3.2-3平面与点两平面的相关位置返回2第三章平面与空间直线教学安排说明122.3.1.2.课时通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，熟练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹角。1.空间坐标系下平面、直线方程的几种重要形式；平面与空间直线间各种位置关系的解析条件；平面与空间直线各种度量关系的量化公式教学时数：。空间直线本章教学目标及要求：本章一般方程向标准方程的转化教学重点：本章教；综合学难点：运用位置关系解析条件求平面、空间直线方程。3§3.1平面的方程（1）2课时平面方程的应用；1.平面的一般方程；2.平面基本定理。1.理解平面的概念；2.掌握平面方程的求法；3.熟悉平面的基本定理教学时数：教学重点：教学难；4.培养学生的空点：教学目标：间想象能力。返回4一、由一点和方位向量确定的平面方程111222,,,,  {}{} XYZXYZab不共线且与平面平行的两向量、，叫平面的一组方位向量。已知平面上的一方位点及其方位向量，可以确定向量：它的方程。5由一点和方位向量确定的平面方程000(,,)  Mxyz设是上的动点，={,,},OMrxyz则00000{,=,}OMrxyz，叫平面的向量式参数方程。0MMab则与、共面0 rruavb 0rruavb()uv、是参数1.向量式参数方程6由一点和方位向量确定的平面方程012012012,,,XXYYZZabxxuvyyuvzzuv将、的坐标代入上式得：(,)uv是参数叫平面的坐标式参数方程。00()(,,)0rruavbabrrab方程两边点乘得，1112220000XYZXYZxxyyzz，即叫平面的点位式方程。3、点位式方程2、坐标式参数方程7由一点和方位向量确定的平面方程4、三点式方程1112121213131310.xxyyzzxxyyzzxxyyzz即(,,)(1,2,3)iiiiMxyzi建立过不共线的三点，的平面方程。121312131()()={,,}(1,2,3)=={,,},iiiiiOMOMrurrvrrrxyziarrbrrrxyzr设,取，为平面的方位向量，令则：。8设平面与,,xyz三轴分别交于(,0,0),(0,,0),PaQb(0,0,)Rc（其中0,0,0abc），求此平面方程。将三点坐标代入平面的三点式方程整理得：平面的解：截距式方程1xyzabcx轴上截距5、截距式方程y轴上截距z轴上截距cabxyzo9二、平面的一般式方程000111222,00,XYZDXYZxxyyzzCAxByz：任何平面的方程都可以用它上面的一点和它的一个方位向量来确定即111111222222,,.:YZZXXYZZXXYYABC其中,,,,0DCCABxyzAxByz不全为0,即任一平面可用的三元一次方程表示,反之对于给定的三元一次方程,不妨设2/0()0,000DDACAxyAAxAByAzBACAz,可写成凑成：,ab不共线,10平面一般方程的讨论0=03.,,0DDCCyozABByoz①②；.时平行于面中两个为0,如:时，经过面1.0D平面过原点;,,0,0,BACA和不共线向量和所确定的平面。于是有：00z2.,,0:zDDCCAB①②；时平行于轴之一为0,如时，经过轴.0(,0,0)DMA表示由点在空间坐标系下，任意平面的方程都可表为三元一次方程，反过来任一个三元一次方程都表示一个平面。称它是平面平面的一基本定理：般方程。111:,xyzabc解设平面为111,32abc由所求平面与已知111.616abc平面平行得例11,V1.ccabxyzo66501.xyz求平行于平面，而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的例平面方程。111111,6666abcabc即令666.xyz得平面方程111,,,1,6,66tabcabttt代入体式得12{4,1,2},420nABC2,3ABC0,0,AxByCzDD平面由平面原解:知设为过点104 15 2P①②、作、业①：②例2返回63242 8. xyz平面原及且与平面垂直，求此平面方程例2.设过点点(,-,)2230.xyz所求平面方程为6326320.ABC由平面知过点(,-,)13§3.1平面的方程（2）2课时平面的点法式方程的应用；1.平面点法式方程的推导；2.面的法式方程的应用。1.了解平面的点方式方程；2.掌握平面的法式方程的求法；教学时数：教学重点：教学难点3.掌握平面的一般方程化为：教学目标：法式方程。返回14复习一、由一点和方位向量确定的平面方程1.0.DCAxByz2.平面基本定理：在空间任意平面的方程都可表为三元一次方程，反之任一个三元一次方程都表示一个平面。3.平二、平面一般面的一般式方程方程的讨论：转181111112121212223131310000012012012001.2.3.4.5.1XXYYZZxxyyzzXYZxxyyzzXYZxxyyzzrruavbxxyyzxyzbczaxxuvyyuvzzuv；；向量式参数方程；坐标式参数方程点位式方程三点式方程截距式方程。；15定义：与平面垂直的非零向量，叫该平面的法向量．000000000()()()0(,,)0.{,,}.CMMMMMBMAxxyyzzMxyznnxxyyzz设为平面上任一点叫平面的点法式方程解:,，则，0000(,,){,,},.MxyznABC已知平面上的点和它的法向量求平面方程一、平面的点法式方程000()0DAxByCzDAxByCz记，则有：。0,,AxByCzDABC的一般方程中的可变量系数恰好是平面的一个法向量见：的分量。n0MZYXMO16二、平面的法式方程000000||()00OOOOMPPPpPprprpnnnnn若是自向所作垂线的垂足，的法向量取与同向的单位向量,并设，则，故平面的方程是：,即,叫平面的向量式法式方程。1、向量式法式方程2、坐标式法式方程0{,,}{coscos,cos}coscoscos0rxyznxyzp设、，，则有，叫平面的坐标式法式方程，简称法式方程。0Opp一次系位向量的分量，即平方和等于1；是原到平面的距离特点常:，.①②项数为单点数项173、一般方程化为法式方程222C,,0yz0{} 1/0,DABABCABCCDDxnAxByz在直角坐标系下，若的方程为，则是的法向量，而法式方程中的一次项系数是的一特殊单位法向量分量。故将一般方程化法式方程只需在一般方程同乘因子，即：再根据取的符，即取的相反。一般方程化法式方程的程叫法式化，定符后的叫法式化因子。为两边选号号为过选号181212{1,1,1},{3,2,12}{10,15,5},10(1)15(1)5(1)0,2360.nnnnnxyzxyz,取法向量所求平面方程：即：解:为.1,1,10,322.250,xyzxyz求且垂直于平面的平面方例程过点()2.:1..3点法式；法式；一般方程化小结法式方程。小结326z140xy把平面的方程化为法式方程，求自原点指向平面的单位法向量及其方向余弦，并求原点到平例1、面的距离。返回1045(3)(6)8 9P作业：、、19§3.2平面与点的相关位置§3.3两平面的相关位置2课时点到平面的距离、两平面的位置关系；1.离差的概念和应用；2.两平面的位置关系。1.理解离差的概念；2.掌握点到平面的距离公式；3.熟悉两平面的位置关系的充要条件教学时；数：教学重点：教学难点：教学目标：4.培养学生的空间想象能力。返回20复习0222000()()()0.20.3.coscoscos00 1/CBOABCAxxyyzzrpxyzpppn1.平面的点法式方程.向量式法式方程坐标式法式方程一次系位向量的分量,即平方和等于1；是原到平面的距离，常.4.一般方程化为法式方程：在一般方程同法式化因子特点。:①②项数为单点数项两边结束21一、点到平面的距离平面与点的相关位置有两种情况：即点在平面上和点不在平面上，重点讨论点不在平面上的情况。0000001.nQQQMMnMM从点向平面引垂线，垂足为，向量在的单位法向量上的射影叫点与的离差。记作离差的定义：：射影。xyOPQM0z0nRpq0rxyOPQM0z0npq0r222.离差和距离的计算0000000||MMMnd1.当Q与同向时；否则；在上.离差可判断两点在平面的一侧或两侧；2.到的距可见：离。00000 Mnrpnrprr点与平面的离差为.（对方程左定理：边用代替即得）0000000000000000000=||()()||||cos||c:os.nnQMOMOQQMQMnnnnrqnrnqnrnqnrqnrp射影射影证0000000(,,)coscoscos0coscoscos.Mxyzxyzpxyzp点与平面的离差为：推论1:pdp原点与的离差,,与上节课的结可见:论一致。23二、三元一次不等式的几何意义0000000000222()yz||2 (,,)0,/AByDABCMAxBCxCzAxByCzDxyzd。，点到平面的离推论：差为点到平面的距离为：M)00yz0(,,)(yzyz/yzzyz0DDDDAxBCxyzAxBCDAxBCAxBCAxByCAxBC;设平面的方程为，则对空间任一点与的离差为，所以。对上的点，；对平面同侧的点同号；对平面异侧的点异号。所以空间的一部分点而另一部分的点。即平面将空间分为两部分,分别叫该平面的正半空间和负半空间。24三、两平面的相关位置11111222220,0AxByCzDAxByCzD设平面：：，相关位置是相交、平行或重合。取决于方程组是有部分公共点或无公共点或所有点都在另一平面上，从而我们可得下面的定理：1111111122222222111222         ABCDABCDABCDABCDACABC两平面：相交：B：：：；定理；：平行重合。1122211122222112121112221222122212,,,,0{},{}0,/ABCABCABCABCCzDnnnnACABCkkxkBykCzDAxByDDk，因两向量的法向量是：，当不平行时它们对应分量不成比例，即:B:::；当它们平行或重合时有：，方程为:A:时两方程相等，即重合，否则两解：平面平行。25四、两平面的夹角121212120AABBCC特别：。21,3634zxyxyz求平面的距离例。2：两间1212122222221112221212121212(,)(,)cos(,) ||os|c|AABBCCABCABCnnnnnn