人教版高中数学必修一-指数函数及其性质精品课件

2．1.2指数函数及其性质阅读教材P54～57，回答下列问题：1．函数叫做指数函数，指数函数的定义域是，值域为．2．指数函数的图象，当时，象“一撇”，时，象“一捺”．3．指数函数的图象特征(1)这些图象都位于x轴的；(2)这些图象都经过点；y＝ax(a0，a≠1)(0，＋∞)Ra10a1上方(0,1)当(3)y＝ax(a1)的图象在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限的纵坐标都小于1且大于0；y＝ax(0a1)的图象正好相反；就是说，当a1，x0时，y∈．当a1，x0时，y∈．当0a1，x0时，y∈．当0a1，x0时，y∈．指出下列哪些数大于1，哪些数小于1?(1，＋∞)(0,1)(0,1)(1，＋∞)(4)从左往右看，y＝ax(a1)的图象逐渐上升；y＝ax(0a1)的图象逐渐下降．这就是说，当时，y＝ax为增函数，当时，y＝ax为减函数．若y＝(2a－1)x为增函数，则a的取值范围是.a10a1a14．将指数函数的图象和性质总结如下表函数名称指数函数解析式y＝ax(0a≠1)定义域R值域(0，＋∞)图象ipfa10a1函数名称指数函数性质单调性在R在R函数值分布图象特征ax0，图象位于x轴上方；a0＝1，图象都经过(0,1)点；a1＝a5.运用指数函数的图象与性质解答下列各题．(1)指数函数y＝ax的图象过点－1，32，则a＝.(2)无论a取何正数(a≠1)，y＝ax＋1的图象都过定点．(3)函数y＝2x－1的定义域为，值域为．(4)函数y＝2x－1的定义域为．(－1,1)(0，＋∞)[0，＋∞)23R(5)比较大小，用“”或“”连接下列每组中的两个数．本节重点：指数函数的图象与性质．本节难点：函数值的变化规律．[例1]下列函数中，哪些是指数函数？(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；[解析](1)、(5)、(8)为指数函数；(2)中底数x不是常数，而4不是变数；(3)是－1与指数函数4x的乘积；(4)中底数－40，∴不是指数函数；(6)中指数不是自变量x，而是x的函数；(7)中底数x不是常数．它们都不符合指数函数的定义．[例2]指数函数y＝f(x)的图象经过点(π，e)，求f(0)，f(1)，f(－π)的值．[解析]设y＝f(x)＝ax，∵它的图象经过点(π，e)，总结评述：已知函数类型，用待定系数法求函数解析式是常用的一般方法．[答案]f(－2)f(－3)指数函数f(x)的图象过点3，18，则f(－2)与f(－3)的大小关系为________．[解析]∵f(x)＝ax过点3，18，∴a＝12；f(x)＝12x是减函数，∴f(－2)f(－3).[例3]比较下列每组中两个数的大小：①1.72.5,1.73②0.8－0.1,0.8－0.2③1.70.3,0.93.1[分析]分析各数的构成特征，将其看作指数函数的两个函数值，用单调性得出结论，或直接运用指数函数值的分布规律求解．[解析]①考察指数函数y＝1.7x，由于底数1.71，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.53，∴1.72.51.73.②考察函数y＝0.8x，由于00.81，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1－0.2，∴0.8－0.10.8－0.2.③由指数函数的性质得1．70.31.70＝1，0.93.10.90＝1，∴1.70.30.93.1.(1)已知47a47b，比较a、b的大小结果为________．(2)比较n－1an与nan＋1，(0a1，n∈N＋，且n2)的大小，结果为________．[答案](1)ab(2)n－1annan＋1[例4]由于y＝2x与y＝(12)x的图象关于y轴对称，那么y＝ax与y＝(1a)x(a0，a≠1)的图象是否也关于y轴对称？函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称吗？[解析]由y＝2x与y＝(12)x的图象关于y轴对称，可以判断y＝ax与y＝(1a)x(a0，a≠1)的图象也关于y轴对称，可在y＝ax的图象上任取一点P(x0，y0)，则有y0＝ax0，此点关于y轴的对称点为P′(－x0，y0)，当x＝－x0时，y＝1a－x0＝ax0＝y0，∴点P′在函数y＝1ax的图象上，因此y＝ax与y＝(1a)x的图象关于y轴对称，同理若点(x0，y0)在y＝f(x)的图象上，则必有点(－x0，y0)在y＝f(－x)的图象上，故知y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．[例5]如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc[分析]比较a、b、c、d的大小，即比较x＝1时各函数值的大小，即对应点的高低．[解析]解法1：在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x轴，故有ba，在③④中底数大于1，底数越大图象越靠近y轴，故有dc.∴选答案B.解法2：设x＝1与①、②、③、④的图象分别交于点A，B，C，D，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得cd1ab.故选B.[点评]总结规律如下：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x轴．简称x0时，底大图高．下图分别是函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，a、b、c、d分别是下列四数：2、43、310、15中的一个，则相应的a、b、c、d应是下列哪一组()A.43，2，15，310B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43，2[答案]C[解析]解法一：指数函数y＝ax的图象从第一象限看，逆时针方向底数a依次从小变大，故选C.解法二：直线x＝1与函数的图象相交，从上到下依次为cdab，而24331015，故选C.[例6]求下列函数的定义域和值域：[分析]结合指数函数的定义域和值域考虑．[解析](1)令x－4≠0得x≠4∴定义域为{x|x∈R且x≠4}(3)定义域为R∵y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2且2x0，∴y1故y＝4x＋2x＋1＋1的值域为{y|y1}．分别写出下列函数的定义域和值域：(1)y＝2x＋1；(2)y＝1－2x；(3)y＝2x；(4)y＝2x2；(5)y＝3x－3；(6)y＝11－5x.[解析](1)R，{y|y0}．(2){x|x≤0}，{y|0≤y1}．(3){x|x≥0}，{y|y≥1}．(4)x∈R，{y|y≥1}．(5){x|x≥1}，{y|y≥0}．(6)要使函数y＝11－5x有意义，应有1－5x0，∴x0.即定义域为{x|x0}，∵x0时，05x1，∴01－5x1，∴11－5x1.即值域为{y|y1}．[例7]已知方程9x－2·3x＋3k－1＝0有两个实数解，试求实数k的取值范围．[错解]令t＝3x，则原方程可化为t2－2t＋3k－1＝0※，要使原方程有两个实数解，则Δ＝(－2)2－4(3k－1)≥0，解得k≤23.[辨析]换元后t＝3x0，原方程有两个实数解，则关于“新元”t的方程※应有两个正数解，而Δ≥0，只能保证方程※有两个实数解，不能保证原方程有两个实数解．事实上，当方程※有两个负根时，原方程无解．[正解]令t＝3x，则t0.原方程有两个实数解，即方程t2－2t＋3k－1＝0有两个正实数解，则Δ＝(－2)2＋4(3k－1)≥0t1＋t2＝20t1t2＝3k－10，解得13k≤23.一、选择题1．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域是()A．定义域是R，值域是RB．定义域是R，值域是(0，＋∞)C．定义域是R，值域是(－1，＋∞)D．以上都不对[答案]C[解析]由y＝3－x－1知定义域x∈R，∵3－x0，∴3－x－1－1，∴值域为y∈(－1，＋∞)．故选C.2．函数y＝(p2－1)x在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数p的取值范围是()[答案]CA．|p|1B．|p|2C．|p|2D．1|p|2[解析]由于y＝(p2－1)x为增函数，∴p2－11，∴|p|2，故选C.3．下列函数中值域为(0，＋∞)的是()[答案]D[解析]选项A值域为(0,1)∪(1，＋∞)；选项B值域为[0,1)；选项C值域为[0，＋∞)，故选D.二、填空题4．无论a取何值(a0且a≠1)，函数y＝2＋ax＋3的图象恒过定点________．[答案](－3,3)[解析]由指函数y＝ax(a0且a≠1)过定点(0,1)知，x＋3＝0时，ax＋3＝1.∴此函数图象过定点(－3,3)．5．比较大小，填“”，“”①2.32.5______2.33.2；②0.4－1.5______0.4－1.3；[答案]，，，[解析]①∵y＝2.3x为增函数，2.53.2，∴2.32.52.33.2；②∵y＝0.4x为减函数，－1.5－1.3，∴0.4－1.50.4－1.3；③0.5－2______0.25－13；④0.8－0.1______1.250.2.