第四章单自由度系统振动

机械系统动力学DynamicsofMechanicalSystem太原科技大学：宁少慧第4章单自由度系统振动4.1振动分类及求解步骤4.2振动系统模型及其简化4.3单自由度系统的自由振动4.4谐波激励下的强迫振动4.5周期性激励下的强迫振动4.6任意激励下的强迫振动4.7单自由度系统振动的应用4.1振动分类及求解步骤离散系统是具有集中参数元件所组成的系统，具有有限多个自由度；连续系统是由连续参数元件组成的系统，有无限多个自由度。在离散系统中，最简单的最基本的是单自由度振动系统。4.1.1振动的分类1、定义：在一定条件下，振动体在其平衡位置附近所做的往复性机械运动。有用的一面：利用振动现象的特征设计制造机器和仪器仪表，例：振动筛选机、振动打桩机、振动给料机、仓壁振动器、钟表计时仪器、振子示波器等。不利的一面：产生噪音、影响机器的正常运转，影响其安全性和可靠性、使机床的加工精度、精密仪器的灵敏度下降、使机械设备的使用受命缩短，严重时引发机器的损坏引发事故。4.1振动分类及求解步骤2、分类系统的输入系统的输出系统的自由度描述系统的微分方程系统的输入振动自由振动在特定的初始位移和初始速度下产生的振动强迫振动系统在给定的外界激励作用下的振动自激振动激励受系统振动本身控制的振动参数振动通过改变系统的物理特性参数实现振动系统的输出振动简谐振动振动量为时间的正弦或余弦函数周期性振动振动量为时间的周期函数瞬态振动振动量为时间的非周期函数随机振动振动量为时间的随机函数系统的自由度振动单自由度振动用一个独立广义坐标就能确定的系统用振动两自由度振动用两个独立广义坐标就能确定的系统用振动多自由度振动用多个独立广义坐标就能确定的系统用振动连续系统振动用无限多个自由度才能确定的系统用振动描述系统的微分方程振动线性振动用线性微分方程来描述振动非线性振动用非线性微分方程来描述振动4.1.2振动问题的求解步骤1、建立振动系统的力学模型；m-c-k系统。2、建立振动系统的数学模型；建立运动微分方程。用牛顿第二定律和拉格朗日方程。3、求解运动微分方程。用解析法。4.2振动系统模型及其简化4.2.1单自由度系统的基本模型振动系统的力学模型：质量块（m），阻尼器（c）；弹簧（K）。单自由度系统：只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了，这种系统称为单自由度系统.系统的简化取决于考虑问题的复杂程度与所需要的计算精度。考虑的问题越复杂，精度越高，模型的复杂程度也越高。mtmkx0锤体砧座和基础土壤刚度土壤阻尼锤体砧座弹性垫刚度弹性垫阻尼基础土壤阻尼土壤刚度x1x1x2例1锻锤模型4.2.2单自由度系统模型的简化例1简化机床的力学模型：机床工作时，产生惯性力的作用，机床和基础一起产生振动，下面的地基即土壤长生较大的弹性变形，当弹簧来处理。基础和机床例2电机和梁组成的振动系统的力学模型。电机质量简化为m，忽略梁质量，梁的弹性简化为k，忽略电机的弹性。4.3单自由度系统的自由振动4.3.1单自由度线性系统的运动微分方程及其系统特性4.3.2振动系统的线性化处理4.3.3单自由度无阻尼系统的自由振动4.3.4固有频率的计算方法4.3.5有阻尼系统的自由振动4.3.1单自由度线性系统的运动微分方程及其系统特性建立运动方程是研究振动的核心问题。方法有：牛顿运动定律能量法拉格朗日方程m)(tx)(tF)(tF)(tx)(tFd)(tFs1、牛顿运动定律法：)()()()(tFtFtFtxmds&&)()()()(tFtkxtxctxm&&&单自由度线性系统的微分方程：直线振动：)()()()(tFtkxtxctxm&&&从数学上看：是二阶常系数非齐次线性微分方程。左边由系统参数m-c-k决定，反映的是振动系统本身的自然特性，右边是外加激励，反应系统的输入特性。)()()()(tFtkxtxctxm&&&单自由度线性系统的微分方程：说明质量块的重力对系统的运动方程没有影响。线性系统中，忽略恒力及其引起的静位移。)()()()(tFtkxtxctx&&&2020年3月8日《振动力学》21例：圆盘转动圆盘转动惯量I在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置。0kI&&Ik/0扭振固有频率020&&为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩)/(radmNkkI由牛顿第二定律：角振动：2020年3月8日《振动力学》22可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述完全相同。如果在弹簧质量系统中将m、k称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。0kxxm&&mk/00kI&&Ik/0kI0mx静平衡位置弹簧原长位置k从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。mk/0Ik/0kI0mx静平衡位置弹簧原长位置k4.3.2振动系统的线性化处理利用泰勒级数展开作线性化处理。引用符号任意时刻由牛顿第二定律有：得单自由度无阻尼的自由振动标准形式：1、自由振动微分方程及其解静平衡时：0skmgmgxktxms)()(&&0kxxm&&上式代入：mkn运动微分方程法计算固有角频率4.3.3单自由度无阻尼系统的自由振动)()()()(tFtkxtxctxm&&&0)()(tkxtxm&&静平衡位置弹簧原长位置mks)(tx0)()(2txtxn&&1cosnxCt2sinnxCt或代入式（1）均满中该方程为两个任意常数，则通解可写为：(2)无阻尼系统的固有角频率rad/s(1)21222121arctan)sin(sincos)(AAAAAtAtAtAtxnnn0)()(2txtxn&&求解该方程mkn系统固有圆频率，单位是1/s振动固有周期单位是s振动固有频率单位是HzkmfT21mkfn212)sin()cos()(00tvtxtxnnn零初始条件下的自由振动：)sin(0tA零时刻的初始条件：0)0(xx0)0(vx&2020nvxA001vxtgn（1）单自由度m-K系统无阻尼情况下，在受到外界干扰后，振动体在其平衡位置作的自由振动为简谐振动。（2）自由振动的振幅和初相角取决于运动的初始条件。（3）固有频率或固有周期与初始条件无关，表现出线性系统自由振动的等时性，质量愈大，弹簧愈软，则固有频率愈低，周期愈长；反之，质量愈小，弹簧愈硬，则固有频率愈高，周期愈短。2、无阻尼自由振动的特性)sin()(tAtxnmkn2020nvxA001vxtgn小结：单自由度系统自由振动分析的一般过程：1、由力学模型建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；3、根据本征值，写出标准方程的通解；4、根据初始条件，计算标准方程的特解。单自由度系统自由振动分析的一般目标：1、求系统的固有角频率，即固有频率；2、求解标准方程。1.三角函数sin()2nnvxAt2sin()nnaxAt由式（1）（2）（3）可知，当物体的位移是简谐函数时，它的速度与加速度也是简谐函数，它们与位移的频率相同，速度的相位超前位移2，加加速度的相位超前位移3.简谐振动的表示法sin()nxAt（1）（2）（3）2.以旋转矢量表示的简谐振动式（4）可写为：sin()nxAt式中：2200nxAx00arctannxx简谐运动可用模为A的旋转矢量在坐标轴x上的投影来表示。(5)3.以复数表示的简谐振动模为A的矢量OP旋转，其复数表示为cos()sin()nnZAtit根据欧拉公式cossiniei()itZAe式（6）可表示为：(6)(7)比较式（6）（7）简谐振动是复数旋转矢量在虚轴上的投影.()sin()ImitxAtAe在以后的叙述中，对复数表达式不做特殊说明时，即表示取其虚部.(8)2020年3月8日《振动力学》34建立系统的力学模型，就要确定系统的等效质量和等效刚度。等效质量：使系统只在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。等效质量和等效刚度等效刚度：使系统只在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。4、等效刚度刚度：单位位移（角位移）所需要的力（力矩）。xFKx一端固定的等直圆杆的拉压刚度、弯曲刚度和扭转刚度。杆长l截面积A截面惯性矩I截面极惯性矩IP材料弹性模量E切变模量G拉压刚度弯曲刚度扭转刚度结论：机械系统中同一元件、同一点，根据所要研究的振动方向不同，会出现不同的刚度。《振动力学》39例：串联系统11kP22kP总变形：Pkk)11(21212121kkkkPKe21111kkKe在质量块上施加力P弹簧1变形：弹簧2变形：根据定义：Pmk1k2组合刚度121111eqnkkkk40例：并联系统两弹簧变形量相等：受力不等：11kP22kP在质量块上施加力P由力平衡：)(2121kkPPP根据定义：21kkPKe并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。Pmk1k212eqnkkkk例：写出下图所示转盘转动的等效扭转刚度其中：AB是具有铝心的钢轴；BC是固体钢轴；DE是固体铝轴。2020年3月8日《振动力学》44－求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限;－这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，采用能量法（瑞利法）分析弹性元件的等效质量。5、等效质量2020年3月8日《振动力学》45例如：弹簧质量系统设弹簧的动能:221xmTtt&系统最大动能：2max2maxmax2121xmxmTt&&系统最大势能：2maxmax21kxVmax0maxxx&tmmk0若忽略，则增大tm02max)(21xmmt&tm弹簧等效质量mtmkx0因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限.例2.试计算悬臂梁的等效质量。lEIm23332lfxl223223013133222140llllTxdmxllml33140elmm33140nlkmm假定振动中梁的变位曲线和梁外端加一静载荷时梁的变位曲线的形状相同。2020年3月8日《振动力学》47瑞利法的概念:在单自由度质量弹簧系统中，将无阻尼自由振动的简谐规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替分布质量，计算其动能，即小结：221xmT&从而计算系统固有频率。因此，瑞利法，基于能量法，用于处理弹簧质量不能忽略的质量弹簧系统的振动问题。2020年3月8日《振动力学》48小结选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：221xMTe&221xKVe等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。2020年3月8日《振动力学》49例：杠杆系统杠杆是不计质量的刚体，水平位置为静平衡位置：求：系统对于坐标x的等效质量和等效刚度k1k2m1m2l1l2l3x4.3.4固有频率的计算方法常用的有公式法，能