离散数学(屈婉玲版)第四章部分答案

4.1（1）设S={1，2}，R是S上的二元关系，且xRy。如果R=Is，则（A）；如果R是数的小于等于关系，则（B），如果R=Es，则（C）。（2）设有序对x+2,4与有序对5,2x+y相等，则x=(D),y=(E).供选择的答案A、B、C：①x,y可任意选择1或2；②x=1,y=1；③x=1,y=1或2；x=y=2；④x=2,y=2；⑤x=y=1或x=y=2；⑥x=1,y=2；⑦x=2,y=1。D、E：⑧3；⑨2；⑩-2。答案：A:⑤B:③C:①D:⑧E:⑩4.2设S=1,2,3,4,R为S上的关系，其关系矩阵是0001100000011001则（1）R的关系表达式是（A）。（2）domR=(B),ranR=(C).（3）RR中有（D）个有序对。（4）Rˉ1的关系图中有（E）个环。供选择的答案A:①1,1,1,2,1,4,4,1,4,3；②1,1,1,4,2,1,4,1,3,4；B、C：③1，2，3，4；④1，2，4；⑤1，4⑥1，3，4。D、E⑦1；⑧3；⑨6；⑩7。答案：A:②B:③C:⑤D:⑩E:⑦4.3设R是由方程x+3y=12定义的正整数集Z+上的关系，即{＜x,y＞︳x,y∈Z+∧x+3y=12},则（1）R中有A个有序对。（2）dom=B。(3)R↑{2,3,4,6}=D。(4){3}在R下的像是D。（5）R。R的集合表达式是E。供选择的答案A:①2;②3;③4.B、C、D、E:④{＜3，3＞}；⑤{＜3，3＞，＜6，2＞}；⑥{0，3，6，9，12}；⑦{3，6，9}；⑧{3}；⑨Ф；⑩3。答案：A：②。分别是：＜3，3＞＜6，2＞＜9，1＞B：⑦。C：⑤。D：⑧。E:④。4.4设S={1,2,3},图4-13给出了S上的5个关系，则它们]只具有以下性质：R1是A,R2是B,R3是C,R4是D,R5是E。供选择的答案A,B,C,D,E:①自反的，对称的，传递的；②反自反的，反对称的；③反自反的，反对称的，传递的；④自反的；⑤反对称的，传递的；⑥什么性质也没有；⑦对称的；⑧反对称的；⑨反自反的，对称的；⑩自反的，对称的，反对称的，传递的A:④B:⑧C：⑨D:⑤E:⑩4．5设Z+={x|x∈Z∧x0},∏1,∏2,∏3是Z﹢的3个划分。∏1={{x}|x∈Z﹢},∏2={S1,S2},S为素数集，S2=Z-S1,∏3={Z+},则（1）3个划分中分块最多的是A,最少的是B.(2)划分∏1对应的是Z+上的C,∏2对应的是Z+上的D,∏3对应的是Z+上的E供选择的答案A,B:①∏1;②∏2;③∏3.C,D,E:④整除关系；⑤全域关系；⑥包含关系；⑦小于等于关系；⑧恒等关系；⑨含有两个等价类的等价关系；⑩以上关系都不是。答案A①B③C⑧D⑨E⑤4.6设S={1，2，…,10},≤是S上的整除关系,则S,≤的哈斯图是(A),其中最大元是(B),最小元是(C),最小上界是(D),最大下界是(E).供选择的答案A:①一棵树;②一条链;③以上都不对.B、C、D、E:④；⑤1；⑥10；⑦6，7，8，9，10；⑧6；⑨0；⑩不存在。答案：A:③(树中无环,所以答案不是①)B:⑩C:⑤D:⑩E:⑤4.7设f:N→N,N为自然数集，且1,2xfxxx若为奇数，，若为偶数，则f（0）=A，0,1,2,1,2,0,2,4,6,fBfCfDfE.供选择的答案A、B、C、D、E：①无意义；②1；③{1}；④0；⑤{0}；⑥12；∴⑦N；⑧{1，3，5，…}；⑨{12，1}；⑩{2，4，6，…}.解：f（0）=02=0，∴A=④；0f={0}，∴B=⑤；1,2f={1}，∴C=③；1,2f①无意义；0,2,4,6,f=N，∴E=⑦.4.8设R、Z、N分别表示实数、整数和自然数集，下面定义函数f1、f2、f3、f4。试确定它们的性质。f1:R→R，f(x)=2x,f2:Z→N，f(x)=|x|.f3:N→N，f(x)=(x)mod3,x除以3的余数，f4:N→N×N，f(n)=n,n+1。则f1是A，f2是B，f3是C，f4是D，f4（{5}）=E。供选择的答案A、B、C、D：①、满射不单射；②、单射不满射；③、双射；④、不单射也不满射；⑤、以上性质都不对。E：⑥、6；⑦、5；⑧、5,6;⑨、{5,6};⑩、以上答案都不对。解：f1是②、单射不满射；f2是①、满射不单射；f3是④、不单射也不满射；f4是②、单射不满射；f4（{5}）=⑨、{5,6}。4.9设f:R→R，f(x)=x²，x≥3,-2,x3;g:R→R，g(x)=x+2,则f〇g(x)=A,g〇f(x)=B,g〇f:R→R是C,f-1是D,g-1是E.供选答案::A\B:①(x+2)²,x≥3,②x²+2，x≥3,-2,x3;-2,x3;(x+2)²,x≥1,x²+2，x≥3,③④-2,x1;0,x3;C:⑤单射不满射；⑥满射不单射；⑦不单射也不满射；⑧双射。D、E：⑨不是反函数;⑩是反函数。解：A=③B=④C=⑦D=⑨E=⑩4.10（1）设S={a,b,c},则集合T={a,b}的特征函数是（A），属于§（S上S）的函数是（B）。（2）在S上定义等价关系R=Is∪{a,b,b,a},那么该等价关系对应的划分中有(C)个划分.作自然映射g:S→S/R,那么g的表达式是(D).g(b)=(E).供选择的答案A、B、D：①{a,a,b,b,c,c};②{a,b};③{a,1,b,1,c,0};④{a,{a},b,{b},c,{c}};⑤{a,{a,b},b,{a,b},c,{c}}.C:⑥1;⑦2;⑧3.E:⑨{a,b};⑩{b}.答案：A:③B:①C:⑦D:⑤E:⑨4.11设S={1，2，……，6}，下面各式定义的R都是在S上的关系，分别列出R的元素。R={x,y|x,y∈s∧x|y}.解：由题意可知R是整除关系，所以答案如下：R={1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,2,2,4,2,6,3,3,3,6,4,4,5,5,6,6}.(2)R={x,y|x,y∈S∧x是y的倍数}.解:由题意可知：R={1,1,2,1,2,2,3,1,3,3,4,1,4,2,4,4,5,1,5,5,6,1,6,2,6,3,6,6}.(3)R={x,y|x,y∈S∧(x-y)²=∈S}.解:由题意可知：R={1,2,1,3,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,3,5,4,2,4,3,4,5,4,6,5,3,5,4,5,6,6,4,6,5}.(4)R={x,y|x,y∈S∧x/y是素数}解：由题意可知：R={1,1,2,1,2,2,3,1,3,3,4,2,4,4,5,1,5,5,6,1,6,2,6,3,6,6}.4.13S={a，b，c，d}，R1、R2为S上的关系，R1={a，a，a，b，b，d}R2={a，d，b，c，b，d，c，b}求R1。R2、R2。R1、R12和R23.解:设R1的关系矩阵为M1，R2的关系矩阵为M2，则12212112000111000000001100010000,010000000001000000000000110000010011000100110000000001000000000000000000RRMMcdRRMM2132,,,110011001101000100010000,,,,,000000000000000000000000000100010001001100110011010001000100000000000000acadRaaabadR00000011,,,,,01000000bcbdcb此题答案正确，只是写法不对，应改为：其余类似},{...2112dcRRMM4．14R的关系图如图4-14所示，试给出r（R）、s（R）、t（R）的关系图。ABCDE图4-14解：r（R）：abcdes（R）：abcdet（R）：abcde4.16画出下列集合关于整除关系的哈斯图。（1）{1，2，3，4，6，8，12，24}。（2）{1，2，……，9}并指出它的极小元、最小元、极大元、最大元。解：（1）2481246231极小元、最小元：1极大元、最大元：24（2）846259731极小元、最小元：1极大元：5，6，7，8，9最大元：无4.19设f,g,h∈N,且有0n为偶数f(n)=n+1，g(n)=2n，h(n)=1n为奇数求fof,gof,fog,hog,goh,和fogoh。解由题意可知所求的复合函数都是从N到N的函数，且满足fof(n)=f(f(n))=f(n+1)=(n+1)+1=n+2gof(n)=g(f(n))=g(n+1)=2(n+1)=2n+2fog(n)=f(g(n))=f(2n)=2n+1hog(n)=h(g(n))=h(2n)=0goh(n)=g(h(n))=0n为偶数2n为奇数1n为偶数fogoh=f(g(h(n)))=3n为奇数4.20设f：R×R→R×R,f(x,y)=x+y,x-y,求f的反函数。解：设:vuyxf,),(1则yxvuf,),(而vuvuvuf,),(所以vuyvux解得22yxvyxu所以vuyxf,),(12,2yxyx4.21设f,gNN,,N为自然数集，且x+1,x=0,1,2,3x/2,x为偶数，f(x)=0,x=4,g(x)=x,x5,3，x为奇数.求gf并讨论它的性质（是否为单射或满射）。设A={0，1，2}，求gf（A）。解：（1）（x+1）/2,x=1,3,gf(x)=0,x=4,x/2,x为偶数且x6,3,x=0,2及大于等于5的奇数。gf不是单射，因为gf（6）=gf（5）=3.gf是满射，因为gf能取到自然数集的任何数。（2）gf（0）=g（1）=3.gf（1）=g（2）=1.gf(2)=g(3)=3.所以gf（A）={3,1}4.22设A={0，1，2}，B={0，1}，求P（A）和BA构造一个从P（A）到BA的双射函数。解：(1)P（A）={，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}}BA={f1,f2,……f8}其中f1={0,0,1,0,2,0}f2={0,0,1,0,2,1}f3={0,0,1,12,0}f4={0,0,1,1,2,1}f5={0.1,1,0,2,0}f6={0,1,1,0,2,1}f7={0,1,1,1,2,0}f8={0,1,1,1,2,1}(2)设该双射函数为FF={,f1,{0},f2,{1},f3,{2},f4,{0，1},f5,{0，2},f6,{1，2}，f7,{0，1，2},f8}做的不错，只是题目抄错了。正确答