张量分析基础

FundamentalofTensorAnalysisQing-YuZhangStateKeyLaboratoryforMaterialsModificationbyLaser,IonandElectronBeams“”“”⎯⎯™™™———Ejσ=Ej⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321333231232221131211321EEEjjjσσσσσσσσσ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321333231232221131211321QQQTTTTTTTTTPPP)3,2,1,()3,2,1(31====∑=jiQTPiQTPjijijjiji[][][][][][]FEDCBAFEDCBAkjikljklikij=+=+™™X1X2X3X1’X2’X3’θ23θ22θ21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321333231232221131211*3*2*1eeeaaaaaaaaaeee)cos(*jiijeea∧=[][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321333231232221131211*3*2*1*3*2*1*3*2*1eeePPPeeeaaaaaaaaaPPPeeePPP1**−==PAPAPP™⇒3™111**±=======−−AAAIAAIAAPPPAPAPAPAPP[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=====⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===−321333231232221131211*3*2*1**332313322212312111321*3*2*11*PPPaaaaaaaaaPPPaaaaaaaaaPPPPPPAPPPPPAPAAPPAPPAP⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001332313322212312111333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa™™[]jiijijijijijijjiPPPPjiji==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎩⎨⎧≠===⋅δδδδδ10001000101ee⎪⎩⎪⎨⎧−==×0,,1,,1kjikjiijkjijkjiεεeeejijlililjlijTTTT==δδ******jjlllklkkikiQaQQTPPaPQQPP======⇔→⇔QAQTQPAPPjlklikijjijijjlklikiaTaTQTPQaTaP======************AATTQTPQAATP******mnopploknjmiijklmnoplpkojnimijkllmnnkmjliijklmnknjmilijkklljkiijkljlikijTaaaaTTaaaaTTaaaTTaaaTTaaTTaaT======™—™————™Tij=Tji—6—11→122→233→323→413→512→6™Tij=-Tji—3—23→-α13→β12→-γ345426561000αβαγβγ−−−™™1222211213313223233322222111=+++++xxSxxSxxSxSxSxSijljkikllkkllkljkiijlljjkkiijiijSaaSxxSxxaaSxaxxaxxxS======********11——S—™™—S10S20S30—S1S2S30—S1S2S30™—rSS=1/r2—Pi=SijQjQPQ1233222211=++xSxSxS1222222=++czbyaxPQS=1/r2r™™⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321333231232221131211*3*2*1xxxaaaaaaaaaxxx12*3*32*2*22*1*1=++xSxSxS222211213313223233322222111=+++++xxSxxSxxSxSxSxS10333231232221131211=−−−λλλSSSSSSSSSNeuman™———™Neuman—G⊇G—1—2™—1™()—2™—3™—4™—6⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡SSS000000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡311000000SSS⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321000000SSS⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡33312231110000SSSSS⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332331232212311211SSSSSSSSS™—C4//Z—S=ASA-1™——d’ijk=aimajnakodmno—d’ijk=-dijkdijk=0™™⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=100001010A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡331111333132131112232122333231232221131211000000SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332331232212311211SSSSSSSSSS⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=100010001A