张量

张量基本知识1.1指标记法1.1.1求和约定、哑指标第一章张量代数1.1基本概念1.标量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度等。标量无下标。2.矢量：有大小，又有方向性的物理量。如矢径（或黑体）、位移、力等。矢量可用一个有向线段来确定。ruFx3x2x11e2e3er31332211iiiererererr其中、、为坐标的基矢量（单位向量、基矢），r1、r2、r3为r在坐标轴的投影（分量），都有一个下标。1e2e3e记法：（1）实体记法：r（或黑体字母）r（2）分解式记法：31332211iiiererererr同时写出矢量的分量和相应分解分量的基。（3）分量记法：将矢量用其全部分量的集合来表示r（r1、r2、r3)（4）矩阵记法：{},{}irr3,张量：有大小，并具有多重方向性的量（可描述更复杂的物理量）。如应力、应变。有些量不能只利用一个方向来确定。如应力：它与两个方向有关npnpnn在方向（为作用面的法矢），应力矢为；nnnp而在方向，应力矢为nnp.这说明应力矢本身有方向，而且还与其作用面方向有关，必须用两个方向才能描述应力矢。11eexx31eexzt21eexyt常用的应力单元体也是如此：每一个应力分量也必须用两个方向才能描述，第一个方向为应力作用面的方向，第二个方向为应力作用的方向。3131333321121111......ijjiijeeeeeeee每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢）表示，称为二阶张量。于是引入二阶基：1212eeee故矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。标量由1个分量组成，矢量由3个分量组成，二阶张量由9个分量组成；三阶张量由27个分量组成，n阶张量由3n个分量组成。从数学上说，可引入阶基，阶基中有个基矢。12neeennn3与阶基相关连的量称为阶张量。nn时为标量；时为矢量；时为二阶张量（简称张量）。0n1n2n1.2张量表示1.2.1.下标记号法——张量的最简洁的一种表示方法点的坐标(x,y,z)（矢径）)3,2,1(,,321ixxxxi点的位移(u,v,w))3,2,1(,,321iuuuui点的速度zyxvvv,,)3,2,1(,,321ivvvvi应力（张量）：xzzxzyyzyxxyzyxtttttt,,,,,,,,133132232112332211,,,,,,,,)3,2,1,(jiij应变张量：xzzxzyyzyxxyzyx,,,,,,,,133132232112332211,,,,,,,,)3,2,1,(jiij微分符号：)3,2,1()(,,,321iffxfxfxfxfiii)3,2,1,(,,,,212232222212jifxxfxfxfxfij约定：英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3.在该约定下，上述简写表达式后的说明或在以后的写法中将被略去。,,,kji)3,2,1(i)3,2,1,(jin阶张量可表示为)3,2,1;;3,2,1;3,2,1(21...321niiiiiiian123...niiiia1.2.2求和约定（Einstein求和约定）31122331iiiiirrerererere矢量点积的实例设为两矢量，其分量分别记为，则：,abiiba,31122331iiiiiabababababab哑标：在表达式的某项中，若某指标重复出现两次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和。该重复指标称为“哑标”或“伪标”。n1kkkn1jjjn1iii2211xaxaxaxaxaxaSnn显然，指标i,j,k与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。于是kkorjjoriixaxaxaS*1、哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）iiixba是违约的，求和时要保留求和号n1iiiixba*2、哑标只能成对出现,否则要加上求和号或特别指出*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和双重求和31i31jjiijxxaSjiijxxaS展开式（9项）313321321131322322221221311321121111xxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaSkkxxxaxxxaSjiijk31i31j31kjiijk三重求和（27项）n表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。例题：332211iixaxaxaxa112233ii112233111112121313212122222323313132323333ijijiiiiii含偏导数项的下标记号表示法：332211xaxaxaxaaiiii，332211,xxxxiiijijjij*若重复出现的标号不求和，应特别声明jijixax1.2.3自由指标例如指标i在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1,2,3,…,n，与哑标一样，无特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：3132121111xaxaxax3232221212xaxaxax3332321313xaxaxax一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非重复的的指标，称为自由指标。对于自由指标可以从最小数取到最大数。*1、自由指标仅表示为轮流取值，因此也可以换标，但必须整个表达式换标；jijixaxkkjjxaxjjiixax111ECR222ECR333ECRiiiiiECECR出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线以示区别，或用文字说明（如i不求和）。规定：这里i相当于一个自由指标，而i只是在数值上等于i，并不与i求和。*2若重复出现的标号不求和的表示：又如，方程333222111232221用指标法表示，可写成jjiiiiiiiiii不参与求和，只在数值上等于i*3由不能得出.iiiicabaiicbjijieeA3132121111eeeeAAAi为自由指标，j为哑标表示3232221212eeeeAAA3332321313eeeeAAA如下3个方程：例题：0,ijijf表示如下3个方程：i为自由指标，j为哑标000333323213123232221211313212111fxxxfxxxfxxx000zzzyzxyyzyyxxxzxyxfzyxfzyxfzyxtttttt等价为jkikijBAC1313121211111k1k11BABABABACi，j为自由指标，k为哑标表示9个方程：2313221221112k1k12BABABABAC3313321231113k1k13BABABABAC1323122211211k2k21BABABABAC3333323231313k3k33BABABABAC……1.3Kronecker符号在卡氏直角坐标系下，Kronecker符号定义为：ji,0ji,1ji100010001333231232221131211其中i，j为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定一单位矩阵：ji（kronecherdelta）符号的性质：ij①对称性jiij②可进行换标或运算iiijijjijilpnpmnlmjjiiijijikkjijaaaa3ijjiee3332211ii112233()()iiiijjiiiiaaaaaa11223310ijkjikikikikijij若jijiee321,,eee是相互垂直的单位矢量，则3332211iieeeeeeee，但3332211ii而，故iiiieeijjiee注意：3iiii是一个数值，即ji的作用：1）换指标；2）选择求和。例1：kiAAkkkkiikAAA思路：把要被替换的指标i变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母k表示例2：jijkTTjijiiijkkiTTT例3：jnimBAnm个数，项的和。jmimjninjnimnmBABABA813,4求特别地，jijkkimimjjkki,如果ij符号的两个指标中有一个指标和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成ij的另一个指标，而ij自动消失。ij也称为换标符号。符号的应用ij①矢量与代数运算jijijijijxaxxa)(两个任意向量点积iiijjijjiibabaebeaba)()(②微分运算ijjijixxx,jkjkiiaa)(21jkiljlikklijaa1.4置换符号例如：1312231123eee1132213321eee0232121111eee（PermutatisnSymbol）不循环当为逆循环当为顺循环当kjikjikjieijk,,0,,1,,1一、定义：ijk循环方向eijk(i,j,k=1,2,3)共有27个元素可见：ijkjkikijjikikjkjieeeeeekjie也称为三维空间的排列符号。表明，标号改变奇次位置时改变正、负号；标号改变偶数次位置时不改变符号。排列符号的应用：kjie排列符号的作用可以简化公式书写1．三阶行列式：kjiijkkjiijkijaaaeaaaeaaaaaaaaaa321321333231232221131211或（共六项，三项为正，三项为负）。二、2.基向量的叉积：右手系3123321eeeee3213312eeeee任意基向量的叉积可写为kkijkijkjieeeeee3．向量叉积的展开式：iieaajjebbkkecbac而kkijjikijkjijjiieebaeebaebeaba则jikijjiijkkbaebaeckjiijkebaebbbaaaeeebac321321321三、常见的恒等式nkmklknjmjljnimilinmlkjieeljmimjlikmlkjieelikjlkji2ee!36kjikjiee(i)(ii)(iii)(iv)ijijke~之关系证明：333231232221131211nmlkjinkmklknjmjljnimiliAAAAAAAAAeeAAAAAAAAA令即得（i），将（i）作相应的指标替换，展开化