八年级数学竞赛培训：勾股定理

八年级数学竞赛培训：勾股定理1．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE=　_________　．　2．如图所示，在△ABC中，AB=5cm，AC=13cm，BC边上的中线AD=6cm，那么边BC的长为　_________　cm．　3．如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数是　_________　．　4．如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是5．1997，那么另一条直角边的长为　_________　．　5．若△ABC的三边a、b、c满足条件：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为　_________　．　6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′处，则BC′与BC之间的数量关系是BC′=　_________　BC．　7．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于　_________　．　8．在锐角三角形ABC中，a=1，b=3，那么第三边c的变化范围是（　　）　A．2＜c＜4B．2＜c＜3C．2＜c＜D．2＜c＜9．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（　　）　A．B．C．D．10．△ABC三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，这三边的高依次为ha、hb、hc，若a≤ha，b≤hb，则这个三角形为（　　）　A．等边三角形B．等腰非直角三角形　C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形11．如左下图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（　　）　A．CF＞GBB．GB=CFC．CF＜GBD．无法确定12.在△ABC中，AB=AC．（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB2﹣AP2；（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．　13.如图所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．　14.已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．　　14．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求：∠ACB的大小．15一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．　　16.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM．　17．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2．　　18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由．　19．（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图（1）．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）　20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明：BD2=AB2+BC2．　21．由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．　　22．如图所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？证明你的结论．　　23．如图所示．从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证：BC2=AB·BF+AC·CE．