实验4：计量经济学实验【多元线性回归及非线性回归模型的线性化】

计量经济学实验——Eviews软件实验之多元线性回归模型及非线性回归模型的线性化内容概要一、学习的目的和要求二、学习的基本内容（重点）三、知识点回顾四、Eviews软件操作实例（例1～例3）一、学习的目的和要求了解多元线性回归模型的产生背景；掌握多元线性回归模型的经典假设、模型的参数估计、模型的统计检验及预测的方法，以及相应的Eviews软件操作方法。通过学习应达到：根据所学知识，独立地进行涉及多个影响因素的经济问题的研究，确定研究对象，按照计量经济分析的工作步骤（即理论模型设定、样本数据收集、模型的参数估计和模型的检验）去分析研究，并写出分析报告。二、学习的基本内容（重点）1、多元线性回归模型的基本理论和方法；2、多元线性回归模型的有关检验（统计检验）；3、看懂Eviews软件的回归分析结果；4、采用合适的形式报告有关结果；5、经典线性回归模型的扩展——多元非线性回归模型的线性化处理。三、知识点回顾1、多元线性回归模型的概念在一元线性回归模型中，假定所研究的经济变量只受一个解释变量的影响。然而，在实际经济问题中这样单纯的例子非常少见，更普遍的是一个经济变量要受到多个因素的影响，这样，仅用一元线性回归模型就根本满足不了要求，因此需要引入含有两个或两个以上解释变量的多元线性回归模型。多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理和基本方法与一元线性回归模型类似，只是在计算上要复杂一些，最简单的多元线性回归模型是含有一个被解释变量和两个解释变量的二元线性回归模型。三、知识点回顾2、多元线性回归模型的四种重要关系式（1）总体回归模型（多元，含k个解释变量）其矩阵形式为：其中：01122iiikkiiYXXXYX121nnYYYY112111222212(1)111kknnknnkXXXXXXXXXX012(1)1kk121nn三、知识点回顾2、多元线性回归模型的四种重要关系式（2）总体回归函数（方程）上述多元回归模型中的确定性部分（趋势部分）此式揭示了所考察总体被解释变量与解释变量之间的平均变化规律，即解释变量取固定值时，被解释变量Y的平均响应；多元回归斜率系数的含义：表示在保持回归方程中其他解释变量不变时，所考察的解释变量每增加一个单位，将导致被解释变量Y的均值的变化量。1201122(|,,)iikiiikkiEYXXXXXX三、知识点回顾2、多元线性回归模型的四种重要关系式（2）总体回归函数（方程）其中总体回归参数真值未知；总体回归方程也是未知的。（3）样本回归函数（方程）在实际应用中，从总体中抽取一个样本，进行参数估计，从而获得估计的回归方程：以此估计方程近似替代总体回归方程；矩阵形式为：其中：1201122(|,,)iikiiikkiEYXXXXXX01122ˆˆˆˆˆiiikkiYXXXˆˆYX121ˆˆˆˆnnYYYY01(1)1ˆˆˆˆkk三、知识点回顾2、多元线性回归模型的四种重要关系式（4）样本回归模型：样本回归函数的随机形式表示为：残差可看成是随机干扰项的估计值；上式矩阵形式为：其中01122ˆˆˆˆˆiiiiikkiiYYeXXXeˆiiieYYiˆˆYYeXe121nneeee三、知识点回顾3、多元线性回归模型的基本（经典）假设与一元线性回归模型类似，对多元线性回归模型有以下几个基本假设，如果实际模型满足这些假设，则OLS就是最优的估计方法；(1)解释变量是非随机的或固定的，且相互之间互不相关（无多重共线性），随机干扰项是随机变量；(2)随机干扰项具有0均值，同方差及不序列相关性，即(3)随机干扰项与解释变量不相关，即(4)随机干扰项服从正态分布，即01122iiikkiiYXXX12,,,kXXXii()0iE1,2,,in22()()iiVarE1,2,,in(,)0ijCov,1,2,,ijijn；(,)01,2,1,2,jiiCovXjkin，，2~(0,)iN1,2,,in三、知识点回顾4、多元线性回归模型的最小二乘估计(OLS)对于多元线性回归模型，在给定一组样本观测值的情况下，如果得到了样本回归函数的参数估计值，根据最小二乘原理，其中的参数估计值必然使下式：达到最小，即使残差平方和达到最小;将Q分别对求偏导并为0，解正规方程组后可得到参数的OLS估计量，用矩阵表示为：01122iiikkiiYXXX(,)(1,2,;1,)jiiXYinjk01122ˆˆˆˆˆiiikkiYXXX22201122111ˆˆˆˆˆ()()nnniiiiiikkiiiiQeYYYXXXˆ(0,1,)jjk011(1)1ˆˆˆ()ˆkkXXXY三、知识点回顾5、OLS估计量的性质当为表达式形式时，均为随机变量，这时称为参数估计量；如果将一组样本数据代入到上述公式中，经过计算得到的具体数值，这时称为参数估计值。在模型满足基本假定的前提下，OLS估计量具有线性性、无偏性及有效性（最小方差性）等非常令人满意的性质，这说明通过某一样本计算出的OLS估计值是无偏有效估计值，与参数真值比较接近，是对参数真值的良好近似。012ˆˆˆˆ,,k012ˆˆˆˆ,,k012ˆˆˆˆ,,k三、知识点回顾6、多元线性回归模型的统计检验对多元线性回归模型进行了参数估计之后，可得到一个估计的回归方程，需要对该估计方程进行统计检验。统计检验主要包括：拟合优度检验、变量的显著性检验（t检验）及方程总体线性的显著性检验（F检验）。(1)拟合优度检验：检验估计的回归模型对实际样本观测值的拟合程度；考察拟合程度有助于判断回归模型参数估计的优劣，如果拟合程度好，则估计的参数质量是比较好的；模型的拟合优度是评价回归方程总体质量的一个重要指标。为判断估计模型对样本数据的拟合程度，我们需要构造一个具有数量性的度量指标，根据该指标的取值情况来判断拟合程度的好坏；简单且普遍使用的一个度量指标为(样本)可决系数01122ˆˆˆˆˆiiikkiYXXX2R三、知识点回顾6、多元线性回归模型的统计检验(1)拟合优度检验：(样本)可决系数表示为：越接近于1，说明模型总体拟合效果就越好，即模型的拟合优度就越高；但由于统计量自身存在一些缺陷，因而计量经济学家对其进行自由度调整，得到了调整的可决系数，记为：在实际应用中，大部分研究者进行拟合优度检验时，通常采用来替代，即应用更广泛的是调整的可决系数。22211()iiiieESSRSSRTSSTSSYY2R2R2R2R2R22211()1iiiienkRYYn2R三、知识点回顾6、多元线性回归模型的统计检验(1)拟合优度检验：不能过度看重可决系数这一指标：一般都认为拟合优度越高，即或越接近于1，回归模型的总体质量就越好，但需要注意的是拟合优度只是回归方程总体质量的评价指标之一，初学者不能过度受这一因素影响，而忽略了方程估计系数的经济意义及统计显著性等因素，而这两个指标也是评价方程总体质量的指标，有时甚至是比拟合优度更重要的指标；如果一个方程的拟合优度很高，但其估计系数的经济意义不合理也是绝对不行的，总之，我们不能把注意力过度集中在拟合优度这一指标上。2R2R三、知识点回顾6、多元线性回归模型的统计检验(2)变量的显著性检验(t检验)：对模型中每个解释变量的统计显著性进行检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中；应用最普遍的是t统计量检验。t检验目的就在于：帮助我们基于总体的一个样本所得到的回归系数的估计值，对总体参数的真值进行推断。t检验是对单个回归系数的检验，即模型中包含的每个解释变量的估计系数都对应一个t统计量值，都要分别单独进行t检验;12ˆˆˆ,k12,k三、知识点回顾6、多元线性回归模型的统计检验(3)方程总体线性显著性检验(F检验)：对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。t检验是对单个回归系数的检验，而F检验是对方程多个回归系数的联合检验。F检验的步骤：1)针对模型中所有k个解释变量设定原假设(原假设是关于多个系数的同一假设，即模型中所有斜率系数同时为0);备择假设(即不全为0);2)构造F统计量，（已知在原假设成立的条件下，F～F(k,n-k-1)分布，k为模型中解释变量个数，n为样本数）；012:0kH10:HH不为真12,,k(1)ESSkFRSSnk0H三、知识点回顾6、多元线性回归模型的统计检验(3)方程总体线性显著性检验(F检验)：3)根据F统计量公式，计算出F统计量的具体值；4)选择5%(0.05)显著性水平；（模型中多个回归系数是否同时为0联合检验通常采用右单侧F检验的形式）5）根据显著性水平5%，自由度为k和n-k-1，查F分布表，确定F分布的临界值；6）比较F统计量值与5%显著性水平下的临界值的大小，给出拒绝或不能拒绝原假设的结论；(如果F统计量值，则拒绝原假设，即认为在5%显著水平下，方程总体线性关系显著成立；如果F统计量值，则不能拒绝原假设，即认为，方程总体线性关系不显著成立)0H0.05(,1)Fknk0.05(,1)Fknk0.05(,1)FknkF分布概率密度曲线三、知识点回顾7、可化为线性的多元非线性回归模型我们以上讨论的多元线性回归模型，其函数形式是线性的，然而在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见，如C-D生产函数表现为幂函数曲线形式，而商品的需求函数表现为双曲线形式等等，但是，大部分经济变量间的非线性关系可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归的方法建立线性计量经济学模型。三、知识点回顾7、可化为线性的多元非线性回归模型几种常见的可线性化的非线性回归模型(1)倒数模型——线性化采用变量直接置换法反映解释变量X的倒数与被解释变量Y之间关系的模型，称为倒数模型；令，上式变换为线性形式：如商品需求量Q与商品价格P之间的关系表现为非线性关系:可用进行置换，将方程变成线性形式。011()iiiYX1iiXX01iiiYX11abQP11,YXQPYabX三、知识点回顾7、可化为线性的多元非线性回归模型几种常见的可线性化的非线性回归模型(2)多项式模型——线性化采用变量直接置换法形如：的模型称为多项式模型；令，则原模型可转化为线性模型:如描述税收s和税率r之间关系的抛物线曲线形式为：用进行置换，将方程变为线性形式：以上两类非线性模型属于解释变量非线性问题，可通过变量置换的方法变成线性模型。2012kiiikiiYXXX212,,,kiiiikiiZXZXZX01122iiikkiiYZZZ2sabrcr，（c0）212,XrXr12sabXcX，（c0）三、知识点回顾7、可化为线性的多元非线性回归模型几种常见的可线性化的非线性回归模型(3)幂函数模型——线性化采用函数变换法关于参数的非线性问题，无法通过变量置换方法化为线性函数，而函数变换是常用方法；如C-D生产函数将Q与K、L三变量之间的关系描述为幂函数形式：两边取对数，即成为一个线性形式：这属于对数模型：即模型中的解释变量与被解释变量均取对数形式；对数模