数学建模中综合评价模型(改进)资料

综合评价方法及其应用一、什么是综合评价问题近年竞赛题全国研究生数学建模竞赛题目：（1）2011-C题：对小麦发育后期茎秆抗倒性问题的研究（2）2011-D题：房地产行业的数学模型（3）2013-D题：空气中PM2.5问题的研究（4）2013-E题：中等收入定位与人口度量模型研究（5）2014-D题：人体营养健康角度的中国果蔬发展战略研究全国大学生数学建模竞赛题目：（6）2012年-A题:葡萄酒质量的评价（7）2012年-B题:碎纸片拼接复原问题（8）2013年-A题：车道被占用对城市道路通行能力的影响1、综合评价的目的•综合评价一般表现为以下几类问题：•ａ。分类——对所研究对象的全部个体进行分类，但不同于复合分组（重叠分组）；•ｂ。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基础上对各小类按优劣排序）；•ｃ。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一事物作出整体评价）。如小康目标的实现程度、现代化的实现程度。当然必须有参考系。构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。2、构成综合评价问题的五个要素（1）被评价对象被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类的，且个数要大于1，不妨假设一个综合评价问题中有n个被评价对象（或系统），分别记为12,,,(1)nSSSn。评价指标体系应遵守的原则：系统性、科学性、可比性、可测性（即可观测性）和独立性。这里不妨设系统有m个评价指标（或属性），分别记为12,,,(1)mxxxm，即评价指标向量为12(,,,)Tmxxxx。（2）评价指标评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。（3）权重系数每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数来刻画。如果用jw来表示评价指标(1,2,,)jxjm的权重系数，则应有0(1,2,,)jwjm，且11mjjw。（4）综合评价模型对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。不妨假设n个被评价对象的m个评价指标向量为12(,,,)Tmxxxx，指标权重向量为12(,,,)Tmw，由此构造综合评价函数为(,)yfwx。如果已知各评价指标的n个观测值为{}(1,2,,;ijxin1,2,,)jm，则可以计算出各系统的综合评价值()(,)iiyfwx，()12(,,,)iTiiimxxxx(1,2,,)in。根据(1,2,,)iyin值的大小将这n个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。（5）评价者评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。3、综合评价的一般步骤•1．确定综合评价的目的（分类？排序？实现程度？）•2．建立评价指标体系•3.对指标数据做预处理•（1）使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提出了如何使指标一致化的问题；•（2）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除指标之间不同计量单位（不同度量）对指标数值大小的影响和不能加总（综合）的问题，即对指标进行无量纲化处理——计算单项评价值。•4．确定各个评价指标的权重•5．求综合评价值——将单项评价值综合而成。1.评价指标类型的一致化极大型指标:总是期望指标的取值越大越好；极小型指标:总是期望指标的取值越小越好；中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取适当的中间值为最好;区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最好。-定性指标二、评价指标的规范化处理一般说来，在评价指标12,,,(1)mxxxm中可能包含有“极大型”指标、“极小型”指标、“中间型”指标和“区间型”指标。•1.1将极小型化为极大型•倒数法：•平移变换法•其中jjxx1'jjjxMx'ijnijxM1max•1.2将居中型化为极大型•对于居中型指标)min(),max(＝其中2,)(22,)(2大型指标，令为最好，要将其化为极2取中间值'ijjijjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxmxMMxmMmMxMmMxmmMmxxmMxjx对某个区间型数据指标x，则1,1,1,axxacxaxbxbxbc其中[,]ab为x的最佳稳定区间，max{,}camMb，M和m分别为x可能取值的最大值和最小值。•1.3将区间型化为极大型1.4定性指标的量化处理方法在实际中，很多问题都涉及到定性，或模糊指标的定量处理问题。诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人员素质、各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能力等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题。如何对有关问题给出定量分析呢？按国家的评价标准,评价因素一般分为五个等级，如A，B，C，D，E。如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如何合理量化？根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种可行有效的方法。2.评价指标的无量纲化在实际中的评价指标12,,,(1)mxxxm之间，往往都存在着各自不同的单位和数量级，使得这些指标之间存在着不可公度性，这就为综合评价带来了困难，尤其是为综合评价指标建立和依据这个指标的大小排序产生不合理性。如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会出“大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理。常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。假设m个评价指标12,,,mxxx，在此不妨假设已进行了类型的一致化处理，并都有n组样本观测值(1,2,,;1,2,,)ijxinjm，则将其作无量纲化处理。（1）标准差方法:令ijjijjxxxs(1,2,,;1,2,,)injm，其中1221111,[()](1,2,,)nnjijjijjiixxsxxjmnn。显然指标(1,2,,;1,2,,)ijxinjm的均值和均方差分别为0和1，即[0,1]ijx是无量纲的指标，称之为ijx的标准观测值。（2）极值差方法:令ijjijjjxmxMm(1,2,,;1,2,,)injm，其中11max{},min{}(1,2,,)jijjijininMxmxjm。则[0,1]ijx是无量纲的指标观测值。（3）功效系数法:令ijjijjjxmxcdMm(1,2,,;1,2,,)injm，其中,cd均为确定的常数。c表示“平移量”，d表示“旋转量”，即表示“放大”或“缩小”倍数，则[,]ijxccd。譬如若取60,40cd，则[60,100]ijx。三、近年建模题目中涉及的指标构建问题举例1、2013年数学建模B题中碎纸片拼接中的纸片匹配指标2、2013研究生数学建模E题中贫富两极分化衡量指标3、2013年数学建模A题中事故处横断面实际通行能力影响差异1、2013数学建模B题中碎纸片拼接中的纸片匹配指标运用最小二乘法，将最新确定位置的右侧边缘灰度值与剩下碎片的左侧边缘灰度值进行比对，将相似度最高即（Match值最小）的待排碎片放在已知碎片的右边。依照上述方法直到将所有碎片拼接完毕。19802min(__)imijiMatchRightcolLeftcol方法一：方法二：221112min()()jMxyxy19792221112()()()kkkkkkkxyxyxy221980197919801980()()xyxy为了比较不同地区和不同年份收入分配的两极分化程度，需要构建了一个指标，以衡量居民收入两极分化的大小，该指标越大，说明收入分配的两极分化程度越高，该指标越小，说明收入分配两极分化的程度越低。该指标需要满足的经济规律方面的要求概括为：在其他情况不变的条件下，当扩大时，减增大，这说明随着贫富收入离散程度的加大，两极分化程度具有增大的趋势；在其他情况不变的条件下，当p增大时，减小，这说明随着中等收入区间人口比例的增加，两极分化程度减弱；在其他情况不变的条件下，当增大时，减小，这说明随着人均收入水平的提高，若贫富收入离散程度没有改变，则两极分化程度减轻了。根据该指标的性质，将其定义为：2、2013研究生数学建模E题中贫富两极分化衡量指标12p是一个在区间上变动的指标，当收入分配完全是均匀分配时，不存在两极分化的情况，此时；而当中间收入人群为零时，即形成完全的两极分化时，，为此本文考虑另一种特殊的情形，即中间收入人口所占比例为50%，变异系数为0.5时，。自此，本文界定时，两极分化程度比较轻，而当时，两极分化程度比较高。(,1]1(,0.5](0.5,1]0.5其中为收入均值，为收入的标准差，P为基于收入的人口分布，为两极分化衡量指标。从视频1和视频2的图像，可以看出交通事故期间，交通事故横截面出实际通行能力波动明显，且没有明显的线性或者其他类似规律，数据可能具有正态分布特性。因此，利用得到的实际通行能力数据，作正态检验。利用spss软件作正态检验，发现正态性明显。因此，可以认为题中交通事故横截面处实际交通能力服从正态分布。实际交通能力差异度：以正态拟合得到的均值作为实际交通能力的大小，则下式成立：实际交通能力的差异程度定义如下：P值越大反应发生事故的车道位置对实际交通能力的影响很大。)),(:()),,(:(2222211111NCNC2121CCCCP3、2013数学建模A题中事故处横断面实际通行能力影响差异稳定性差异度：由于视频1和视频2的交通事故横截面实际交通能力具有波动性，则应该具有稳定程度，用稳定性ω这一量来反映，显然，稳定性越高越有利于车辆的通行。定义稳定性如下所示：则稳定性的差异程度如下：22111,12121T差异度：为了说明事故处横断面实际交通能力总的影响差异，定义差异度B，如下所示：式中的21,为实际交通能力和稳定性的偏好系数。综上所述，得到如下事故处横断面实际通行能力影响差异模型：TPB212221212121为了全面地综合分析评价被评价对象的运行（或发展）状况，如果已知n个状态向量（即n组观测值）()12(,,,)iTiiimxxxx(1,2,,)in，则根据m个评价指标的实际影响作用，确定相应的权重向量12(,,,)Tmw，且选择合适的数学方法构造综合评价函数（即综合评价模型）(,)yfwx，由此计算综合评价指标函数值()(,)(1,2,,)iiyfinwx，并按(1,2,,)iyin取值的大小对n个系统进行排序或分类。问题:如何来构造合适的综合评价模型？四、综合评价模型的建立方法线性加权综合法的适用条件:各评价指标之间相互独立。对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观地反映实际。1.线性加权综合法线性加权综合法:用线性加权函数1mjjjywx作为综合评价模型，对n个系统进行综合评价。线性加权