XDF-研数-线代-强化-09-尤承业-教材

新东方在线[]2009考研数学强化电子教材系列线性代数线性代数主讲：尤承业欢迎使用新东方在线电子教材第一讲矩阵的初等变换一、初等变换的定义初等行变换①变换两行的上下位置；②用非零常数乘某一行；③把一行的l倍加到另一行上；倍加、消元作用①保持矩阵的秩；②初等行变换是线性方程组的同解变换）（行B)(AxxBA与③①使得值变号②值乘c③保持值二、阶梯形矩阵①如果有非零行，又有零行，则必须零行都在下面②如果它有非零行，则它的第一个非零元素出现的列号至上而下严格单位上升的。例：新东方在线[]2009考研数学强化电子教材系列线性代数000001050002120010413简单阶梯形矩阵台角：非零行的第一个非零元素的位置。③台角位置的元素都为1④台角正上方的元素都为0000002100040200104130000021000201003700311命题：每个矩阵A都可用初等行变换化为阶梯形矩阵。化出的阶梯形矩阵不唯一，非零行数和台角位置是由A决定的。化出简单阶梯形矩阵是唯一的。事实一：如果A是一个n阶的阶梯形矩阵，则A一定是上三角矩阵。0*事实二：若A是阶梯形矩阵，则划一行，仍然是；但是划去任何一列，则不然。如果划去最右一列，仍然是。三、方程组的矩阵消元法①解的情况判别无解，唯一解，无穷多解②求解0000042000413002123011151B行A004243223154434324321xxxxxxxxxx方程组的矩阵消元法新东方在线[]2009考研数学强化电子教材系列线性代数ⅰ）写出正方矩阵，并用初等行变换化为阶梯形矩阵)(A)(Bⅱ)用判断解的情况)(B看的最下面的非零行。)(B若为无解)0(00dd否则，则一定有解。有解时，看的非零行数r，)(B，则唯一解，则无穷多解。nrnrⅲ）唯一解时求此解（初等变换法）去掉的零行，得到)(B)(00B其中是n阶矩阵，也是阶梯形矩阵，是上三角。0B0B=)(00B1100110*0112211行bnnbbbnn有解00011iinnnnbbb解ncxcxcxcccnn221121B行A即解EB行)(0007年的考题已知和有公共解040203221321321xaxxaxxxxxx12321axxx求a及全部公共解解：即联立方程组有解新东方在线[]2009考研数学强化电子教材系列线性代数231100001000101113311010010001011110000101301-a10111100012141211112222aaaaaaaaaaaaaaaA行行行，也即，无解0232aa21或a唯一解2a21或a无穷多解1a2a11010001000111010001011100行B解为110四、克莱姆法则克莱姆法则：方程数=未知数个数n时（即A是n阶时）有唯一解，此解为AxA0Tn21ADADAD，，，，是用替代的第一列后得1DAAx0A唯一解证：B行A问题有什么关系BA与xAB0B0B0B是n阶阶梯形矩阵，因此是上三角矩阵新东方在线[]2009考研数学强化电子教材系列线性代数nnbbbB02211当唯一解n,1,00ibBii时唯一解：ibbiinn,0002211nnbbbB求解：就是解EA行例abcabxacxbcxcbacxbxaxcbaxxx3321222321321（1）证明此方程组有唯一解两两不等cba,,（2）有唯一解时求解解：abccbacbaabacbccba3111222222)()()()(00111bccbabcaccabbcbacabbacacab))(()()())((000111bcaccaccabbcbabcacacab唯一解0))((,0bcacabcabbbaab)(10000111解为cba100010001Tcba,,最后我讲一讲齐次方程组的问题。新东方在线[]2009考研数学强化电子教材系列线性代数齐次方程组的特点是总有解，零解。因此，解的情况只有两种：唯一解即只有零解；无穷多解即有无穷多解。用矩阵消元法时，只用把系数矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵，然后看非零行数的只有零解nr有非零解nr当时，一定有非零解。nm第二讲矩阵的乘法及逆运算一、乘法1、定义与规律①乘法三要素ⅰ）条件，ⅱ）AB的行列数，ⅲ）AB的元素。njinjijiijbababac2211②规律ⅰ）对加法的分配律：BABABAAABABBBA21212121)()(，ⅱ）对数乘的结合律：)()()(cBAABcBcAⅲ）结合律：)()(BCACABⅳ）转置律：TTTABAB)(ⅴ）单位律：AAEAEAⅵ）行列式性质：当A，B都是n阶矩阵时，BAAB但是，无交换律与消去律BAAB？无右消去律无左消去律时，CBCABACBAABAC02、n解矩阵的方幂与多项式新东方在线[]2009考研数学强化电子教材系列线性代数EkAAAAkkA为常数时，个EAAB354乘法公式与因式分解的应用要谨慎一般不总是成立，问题是交换律，如2222))(?(BABBAABABABA但是：当式中出现的任何两个n阶矩阵乘积都可交换时，公式就可用一个矩阵的多项式总可因式分解：))((2EAEAEA))((23AAEAEAE))((23AAEAEAE例1，2阶矩阵B满足2112AEBBA2求B解：EEABEBBAEBBA2)(2224B21111,42EAEAEEAB，例26,,)31,21,1(,)3,2,1(AATTT求解：66)(TA))()()()()((TTTTTTTTTTTT))()()()((T5)(TA53新东方在线[]2009考研数学强化电子教材系列线性代数123332123121135332131,21,1T讨论：一般化，当n阶矩阵A可分解一个n维列向量α与一个n维行向量乘积时，则TAAkTkTk1)()(如果,,2121nnbbbaaa则的迹数AArbababannT)(2211例如：，求111111111A10A解：因为3111111111111而，A所以AA9103例3设n维列向量，记T21,0,,0,21TTEBEA2,求AB解：)2)((TTEEABEEEETTTTTTTTT)(22221T新东方在线[]2009考研数学强化电子教材系列线性代数例4)2(2,1010201011nAAAnn求解：看AA22020402021010201011010201012思路一AAAAkkk112于是02222211AAAAnnnn思路二02222111221nnnnnnAAAAAAA（或）0)2(2221AAAAAnnn3、两个有用的特殊规律①若sB,,,21ssAAAAAB,,,,,,2121②若则TsnbbbA,,,,,,,2121nnbbbA2211例如（05年考试中出现的一步计算）110101021,,,,21BAs110,102,011AAAAB323121,2,应用之一矩阵分解例5（05年题）设A是3阶矩阵，是线性无关的三维列向量组，使得321,,323322321132,2,AAA求作3阶矩阵B，使得BA321321,,,,新东方在线[]2009考研数学强化电子教材系列线性代数解：321,,AAA左1232323,2,23311221001,,321311221001B矩阵分解：如果B的每个列向量都是A的列向量组的线性组合，则可构造矩阵C，使得ACB其中C的各列就是B的相应列向量表达成A的列向量线性组合的系数。如)2,3,2(),,,(BA令211012131C则ACB例6设是线性无关的3维列向量组，3阶矩阵A使得321,,1333222112,2,2AAA求A解：)2,2,2(),,(133221321A120012201),,(321120012201,,,,321321A0,,321新东方在线[]2009考研数学强化电子教材系列线性代数9120012201A例7（05年题）)94,32,(,1),,,(321321321321BAA求B解：931421111AB221931421111AB例8（06年题）已知为2维列向量，，已知21,),(),,2(212121BAB6，求A解：1112AB231112BBBA应用之二在特殊的情形下求矩阵乘积例1799675458100111101890372653诀窍：乘积矩阵的每一列都是左侧矩阵